Lemma von Morse. Zu einem nicht ausgearteten kritischen Punkt p vom Index i gibt es eine Umgebung U und eine Karte u:U®VÌRn, so daß f(x) = f(p) - u1(x)2... - ui(x)2 + ui+1(x)2... + un(x)2 für alle xÎU.

Satz. Enthält das Intervall [a,b] keinen kritischen Wert von f, so ist f -1[a,b] homöomorph zu f -1({a})´ [a,b].

(1) Die Zahl der Punkte ist endlich.

(2) Jeder Punkt ist in genau zwei Blöcken enthalten.

(3) Die kombinatorische Struktur ist zusammenhängend, in dem Sinne, daß es zu jedem Paar von Punkten (a,b) eine Reihe (a0,a1,...,ar) mit a0=a und ar=b gibt, so daß zu jedem iÎ{1,...,r} ein Block existiert, der ai-1 und ai enthält.

(4) Seien a={a1,...,an} und e={e1,...,em} Blöcke. Ist ai=ej und ak¹el für alle (k,l)¹(i,j), dann entsteht ein neues Schema, dadurch daß der Punkt ai wegfällt und die Blöcke a und e durch den Block a°e={a1,...,âi,...,an,e1,...,êj,...,em} ersetzt werden.

(5) Zu einer Zerlegung A1+A2 von a entsteht ein neues Schema, dadurch daß ein Punkt x hinzugenommen und a durch die Blöcke A1+{x} und {x}+A2 ersetzt wird.

(6) Sei G eine Grundform. Dann gibt es zu jeder Zerlegung A1+A2 der Menge ihrer Grenzlinien eine geschlossene Linie x in G, so daß A1+x und x+A2 zwei Flächenstücke beranden, die zusammen G ergeben.

(7) Zwei Grundformen sind genau dann elementar verwandt, wenn die Anzahl ihrer Grenzlinien übereinstimmt.

(8) Seien a und b Grundformen mit den Grenzlinien a1,...,an bzw. b1,...,bn. Dann gibt es zu jeder Permutation s von {1,...,n} einen Homöomorphismus h:a®b, so daß bs(i)=h(ai) für alle iÎ{1,...,n}.

(9) Sei die Zerlegung einer geschlossenen Fläche in zwei Grundformen c und y gegeben, dann gibt es einen Homöomorphismus c®y, der die gemeinsamen Grenzlinien von c und y identisch abbildet.

(*) Ein zur Identität homotoper Homöomorphismus h:S1®S1 läßt sich zu einem Homöomorphismus H:S1´[0,1]® S1´[0,1] erweitern, so daß H½ S1´{0}=id und H½ S1´{1}=h.

1) Insbesondere kann ein Homöomorphismus zwischen zwei Binionen B1 und B2 zwischen zwei Grenzlinien beliebig vorgegeben werden. Seien dazu Homöomorphismen h1:B1®S1´[0,1] und h2:B2®S1´[0,1] und o.B.d.A. ein Homöomorphismus h:h1-1(S1´{1})®h2-1(S1´{1}) vorgegeben. Durch Spiegelung von S1´[0,1] kann stets erreicht werden, daß h2°h°h1-1½S1´{1} homotop zur Identität ist. Dann ergibt sich nach (*) ein Homöomorphismus H, so daß h2-1°H°h1½h1-1(S1´{1})=h.

2) Ist hierbei B1=B2, h1=h2, h1-1(S1´{1}) ein Kreis und h homotop zur Identität, z.B. eine Drehung, dann ist das so konstruierte H auf der anderen Grenzlinie die Identität.

3) Schließlich kann ein zur Identität homotoper Homöomorphismus h auf dem Rand von SGn zu einer homöomorphen Selbstabbildung von SGn erweitert werden. Wählen wir nun für jedes iÎ {1,...,n-1} ein si>ri und ein sn=s0> 0, so daß die Grundbedingung si+si+1<2/n noch erfüllt ist. Wir können Kreisringe Kr(M,r,R) vermöge der Abstandsfunktion von M auch als Binion auffassen. Dann kann auf jeder der Binionen bi=Kr(xi,ri,si) und bn=Kr(O,1-sn,1) gemäß (*) ein Homöomorphismus Hi angegeben werden, der auf der einen, zum Rand von SGn gehörigen Grenzlinie mit h, auf der anderen mit der Identität übereinstimmt.

§.3

Gehen wir jetzt zu der el. Verwandtschaft zwischen Flächen fort. Wir werden dieselben stets von endlicher Ausdehnung und damit, wenn sie begrenzt sind und nicht, wie etwa die Kugelfläche, nach allen Seiten hin in sich selbst zurücklaufen, ihre Grenzlinien als geschlossene Linien von endlicher Länge vorraussetzen.

§.5.1)

... jeder Grenzlinie von a entspricht eine Grenzlinie von a'; woraus wir zuletzt noch schliessen, dass von zwei el. verwandten ebenen Flächen die eine von der selben Anzahl geschlossener Linien, wie die andere, begrenzt seyn muss.

Diese Bedingung ist aber zur el. Verwandtschaft zweier ebenen Flächen nicht bloss notwendig, sondern auch hinreichend. Denn wird die Fläche a nur von einer Grenzlinie f, und daher auch die a' nur von einer f' umschlossen, so nehme man in a innerhalb f beliebigwo einen Punkt A an und denke sich, was immer möglich ist, in a um diesen Punkt ein System von m(=¥) geschlossenen Linien f1, f2, ..,fm construirt, von denen die erste f1 den Punkt A in unendlicher Nähe umschliesst, und jede von der nächstfolgenden, die letzte fm von f selbst, in unendlicher Nähe umschlossen wird, und zerlege somit die Fläche a in das von f1 begrenzte Flächenelement und in m unendlich schmale Ringe f1f2, f2f3, .., fmf.

 §.5.2)

Ein ähnliches Verfahren lässt sich anwenden um die el. Verwandtschaft der Flächen a und a' darzuthun, wenn a zwei Grenzlinien f, g, und daher auch a' zwei dergleichen den erstern entsprechende f', g' hat. Denn man kann erstens die von f, g begrenzte Fläche a durch m-1 geschlossene und einander umschliessende Linien in m unendlich schmale Ringe zerlegen, von denen, wenn f die äussere und g die innere Grenze von a ist, der erste Ring die Linie f zur äussern Grenze, und der letzte die g zur innern hat. ...

§.6

Zu einer geschlossenen Fläche j, die man sich der leichtern Auffassung willen als stetig gekrümmt und sich selbst nicht schneidend vorstelle, denke man sich eine etwa horizontale Ebene e hinzu, welche in ihrer anfänglichen Lage e0 der Fläche j in keinem Punkt begegne und sie daher ganz auf einer Seite, es sey auf ihrer unteren, von sich liegen habe. Werde diese Ebene e parallel mit sich nach unten fortgeführt, bis zuletzt die Fläche j ganz auf der obern Seite von e liegt, so wird das erste Zusammentreffen von e mit j, desgleichen auch das letzte eine blosse Berührung seyn. Zwischen diese zwei Berührungen können auch noch mehrere andere fallen. Immer aber wird j von e zwischen je zwei nächstfolgenden Berührungen in einer oder mehrern geschlossenen und weder sich selbst, noch einander schneidenden Linien geschnitten werden. Ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit können und wollen wir hierbei annehmen, dass in keine Lage von e zwei oder mehrere Berührungen zugleich fallen. Auch wollen wir noch setzen, dass jede Berührung immer nur in einem Punkte, nicht in einer Linie geschieht, und eine gewöhnliche, also entweder eine elliptische oder eine hyperbolische ist.

 §.6

Hiernach werden die erste und die letzte aller Berührungen stets elliptisch seyn, und j wird von e sowohl zwischen der ersten und zweiten, als zwischen der vorletzten und letzten Berührung nur in Einer geschlossenen Linie geschnitten werden. Wenn ferner irgend eine Lage der sich parallel nach unten bewegenden Ebene zwischen der ersten und der zweiten Berührung mit e1, irgend eine zwischen der zweiten und dritten mit e2, u.s.w. bezeichnet wird, so dass zwischen e0 und e1 die erste Berührung, zwischen e1 und e2 die zweite, u.s.w. fällt, so werden in je zwei nächstfolgenden dieser Lagen von e, wie in em und em+1, die Zahlen der in sie fallenden Durchschnittslinien mit j stets um die Einheit von einander verschieden seyn. Indem sich nämlich e von em bis em+1 parallel nach unten hin fortbewegt, bewegen sich auch die in em enthaltenen Durchschnittslinien parallel fort, obwohl im Allgemeinen mit Veränderung ihrer Gestalt, und sind daher auch in em+1 wieder anzutreffen, nur dass entweder

1) eine in em noch nicht vorhandene Linie in em+1 hinzugetreten ist, oder dass

2) eine der in em sich vorfindenden Linien in em+1 verschwunden ist, oder dass

3) eine der Linien in em sich in em+1 in zwei getheilt hat, oder dass

4) zwei der in em begriffenen Linien sich in em+1 zu Einer vereinigt haben.

Der erste, sowie der zweite dieser vier Fälle hat statt, wenn die zwischen em und e m+1 statt findende Berührung eine elliptische ist; der dritte, sowie der vierte Fall tritt ein, wenn die gedachte Berührung eine hyperbolische ist.

 §.10

Der Beweis für eine Union und eine Binion kann ganz ähnlicher Weise, wie in § 5.1) und 2), geführt werden. Sind nämlich z und e1 die zwei Lagen der Ebene e, deren erstere die Union (f) in A elliptisch berührt, und deren letztere die Grenzlinie f in sich fasst, so denke man sich ein System unendlich vieler, =m, und in unendlich kleinen Intervallen von z bis e1 aufeinander folgender mit z und e1 paralleler Ebenen, welche die Fläche (f) in den Linien f1, f2,.. schneiden. Hierdurch wird die Fläche, wie in § 5.1) die ebene Fläche a, in m unendlich schmale Ringe und das den Punkt A enthaltende und von der unendlich kleinen Ellipse f1 umgrenzte Element zerlegt. Theilt man hierauf, ebenso wie dort, die Grenzlinie f in n Elemente und zerlegt durch Linien, die in (f) von den Theilpunkten nach A gezogen werden, die (f) in n unendlich schmale Sectoren, also in Verbindung mit jenen m Ringen in mn+1 Flächenelemente, so kann man diese den ebensovielen Elementen der Fläche a' in § 5.1) auf die dort bemerkte Weise nach dem Gesetz der el. Verwandtschaft entsprechend setzen.

Um zu beweisen, dass jede Binion (fg) einer von zwei geschlossenen Linien f', g' begrenzten ebenen Fläche el. verwandt ist, verfahre man eben so, wie in § 5.2) die elementare Verwandtschaft zweier ebenen Flächen a und a' dargethan wurde, von denen a die Linien f, g, und a' die f', g' zu Grenzen hatte, nur dass man, wenn jetzt f und g in den Ebenen e1 und e2 liegen, die Fläche (fg) durch parallele Ebenen, welche in unendlich kleinen Intervallen aufeinander folgen, in m unendlich schmale Ringe zerlegt.

 §.19

In der Gleichung (A), durch welche so eben die Classenzahl n einer Fläche mittelst der Zahlen u und t von Grundformen der ersten und der dritten Classe bestimmt wurde, kann man die letztern Zahlen noch auf andere Weise definiren und damit der Gleichung selbst eine noch leichter zu fassende Bedeutung abgewinnen.

... Die Zahl u der Grundformen erster Classe ist daher auch = der Zahl der Punkte, in denen die Fläche j von einer mit e0 parallel sich fortbewegenden Ebene e elliptisch berührt wird, und ebenso ist t die Zahl der hyperbolischen Berührungspunkte von j mit e.

Sey nun E ein elliptischer und H ein hyperbolischer Berührungspunkt, so hat nach der Natur der elliptischen Berührung der Punkt E unter allen ihm nächsten Punkten der Fläche j entweder den grössten, oder den kleinsten Abstand von e0 oder von sonst einer festen mit e0 parallelen Ebene e, je nachdem der dem E nächstliegende Theil von j der Ebene e seine hohle, oder seine erhabene Seite zuwendet; und ähnlicher Weise ist der Abstand des H von e ein Maximum und ein Minimum zugleich. Man kann daher u auch als die Zahl der Punkte der Fläche j definiren, deren Abstände von einer beliebigen festen Ebene e theils Maxima, theils Minima sind, und t als die Zahl der Punkte von j, deren Abstände von derselben Ebene e Maxima und Minima zugleich sind. Zwischen diesen beiden Zahlen aber und der Classenzahl n von j wird immer die Gleichung (A) bestehen.

 §.23

- Es lässt sich hiernach erwarten, dass überhaupt zwei Körper el. verwandt seyn werden, wenn der eine von ihnen von eben so viel geschlossenen Flächen, wie der andere, begrenzt ist, und wenn die Classenzahlen der Grenzflächen des einen Körpers dieselben, wie bei dem andern sind, - gleich viel übrigens, ob die beiden äusseren Grenzflächen der beiden Körper zu einerlei Classe gehören, oder nicht. -