Klassifikation der geschlossenen Flächen

Die Klassifikation der Flächen beruht bei Möbius in erster Linie auf den oben skizzierten Überlegungen zum Schema einer Fläche. In der Sprache von Möbius wird nicht zwischen den abstrakten Objekten einer kombinatorischen Struktur und den entsprechenden geometrischen Objekten Grenzlinie und Grundform unterschieden. Die Rechtfertigung dafür baut aber auf Resultaten der Topologie ebener Flächen auf, die bei Möbius sehr lückenhaft begründet sind. Ohne diese Resultate zu benutzen, kann man die notwendigen Aussagen auch mit elementaren Methoden der Analysis ableiten. Eine Grundform ist dann nicht wie bei Möbius eine von endlich vielen geschlossenen Linien begrenzte Fläche, die in die Ebene eingebettet werden kann, sondern Element der Homöomorphieklasse einer der Standardgrundformen, die explizit angegeben werden müssen.

Zunächst ist sicherzustellen, daß jedes Schema der Fläche j in folgendem Sinne einer Zerlegung von j entspricht. Die Menge der Punkte eines Schemas entspreche umkehrbar eindeutig einem System geschlossener Linien in j , die sich nicht schneiden. Jedem Block des Schemas entspreche umkehrbar eindeutig ein zusammenhängender Teil von j , der genau diejenigen geschlossenen Linien, die den Punkten des Blocks entsprechen, enthält, so daß sie seinen Rand bilden. Das Ausgangsschema ist so entwickelt worden, daß diese Entsprechung direkt erfüllt wird. Bei der Verknüpfung zweier Blöcke ist auch unmittelbar zu erkennen, wie die Entsprechung modifiziert werden muß. Um zu sehen, daß auch nach der Aufspaltung eines Blocks eine solche Entsprechung existiert, benötigen wir folgenden Satz.

Dann ergibt sich nach den obigen Überlegungen am Schema folgender Satz von Möbius [§.15]: ... eine geschlossene Fläche lässt sich immer durch eine gewisse Anzahl auf ihr gezogener geschlossener Linien in zwei Grundformen zerlegen, deren jede von allen diesen Linien begrenzt ist und daher eine der Zahl der Linien gleiche Classenzahl hat. Nach derselben Zahl wollen wir nun auch die geschlossenen Linien selbst classificiren und eine geschlossene Fläche der nten Classe diejenige nennen, welche in zwei Grundformen der nten Classe zerlegbar ist.

Es ist nun weder klar, daß n wohldefiniert ist, noch daß zwei Flächen unterschiedlicher Klassen topologisch verschieden sind. Diese beiden Aussagen sind äquivalent. Sei nämlich j eine geschlossene Fläche der n-ten Klasse und n wohldefiniert, dann besteht jedes Linsenmodell von j aus n Punkten und zwei Blöcken. Ein Schema von j überträgt sich übrigens auf jedes homöomorphe Bild j', weil die zum Schema gehörige Zerlegung von j, die aus geschlossenen Linien und zusammenhängenden Flächenstücken in j besteht, in eine ebensolche in j' übergeht. Daher gehört auch j' zur n-ten Klasse und geschlossene Flächen verschiedener Klassen sind topologisch verschieden. Sei umgekehrt vorausgesetzt, daß geschlossene Flächen verschiedener Klassen topologisch verschieden sind, dann kann ein und dieselbe Fläche nicht verschiedenen Klassen angehören.

Ein Nachweis dieser Aussage, die die Klassenzahl einer Fläche als topologische Charakteristik erweist, gelingt Möbius nicht. Er folgert vielmehr in einem Zirkelschluß jede der beiden äquivalenten Formulierungen aus der jeweils anderen. Unter Benutzung der anschaulichen Tatsache, daß jede geschlossene Linie auf der Kugelfläche diese in zwei Teile teilt, zeigt Möbius [§.17 mit fig. 17] zunächst, daß Kugelfläche und Torus nicht in elementar verwandtschaftliche Beziehung gebracht werden können.

Hier würde man einen Hinweis auf Riemann erwarten [Scholz 1980, 382, n.5], in dessen Zusammenhangstheorie im wesentlichen die Wohlbestimmtheit der Klassenzahl von Möbius enthalten ist. Daß ein solcher Hinweis bei Möbius unterbleibt, kann nicht auf seine Zurückgezogenheit von der mathematischen Fachwelt zurückgeführt werden, denn zur fraglichen Zeit hat Möbius das Borchardtsche Journal gelesen [cf. 1862, 1] und Aufsätze von ihm wurden darin gedruckt [u.a. 1853, Nachdruck 1856]. Riemann [1857, 85] definiert dort:

Diese Zusammenhangszahl, die nur einer von drei verschiedenen Definitionen bei Riemann entspricht, ist offensichtlich mit der Klassenzahl von Möbius identisch. Ihre Wohlbestimmtheit wird von Riemann begründet, die Existenz des Kurvensystems jedoch vorausgesetzt [Bollinger 1872, 103]. Unabhängig davon, ob er mit der Arbeit von Riemann vertraut war, muß man Möbius zugute halten, daß er die Existenz des von Riemann geforderten Kurvensystems für geschlossene Flächen auf die Existenz einer Morsefunktion zurückgeführt hat.

Der Nachweis, dass zwei Flächen der gleichen Klasse zueinander elementar verwandt sind, läßt sich im Rahmen der Überlegungen von Möbius ohne weiteres führen, wenn er auch von Möbius nicht konsequent durchdacht wird. Er schreibt lediglich [§.17]:

Diese Andeutung ist zur strengen Durchführung eines Beweises nicht ausreichend. Grundlegend sind aber folgende beiden Aussagen, die sich bei Möbius aus der Klassifikation der ebenen Flächen ergaben.

Doch sind diese Aussagen nicht ausreichend, um den entscheidenden Satz zu beweisen, der bei Möbius nicht vorkommt und die Orientierbarkeit der Fläche voraussetzt:

Es gibt dann entsprechende Homöomorphismen h₁:c®y und h₂:c'®y' und einen beliebigen Homöomorphismus h:c®c', so daß H:=h_2°h_°h₁^-1:y®y' auf den gemeinsamen Grenzlinien von c und y mit h übereinstimmt. Da h und H auf dem (kompakten) Durchschnitt ihrer Definitionsbereiche übereinstimmen, bilden sie zusammen den gesuchten Homöomorphismus zwischen j und j'.

Im folgenden Abschnitt gelten die Bezeichnungen K(M,r) für einen Kreis in R² vom Radius r um den Mittelpunkt M, Ks(M,r) für die entsprechende kompakte Kreisscheibe und Kr(M,r,R) für einen kompakten Kreisring um M mit innerem Radius r und äußerem Radius R. Seien nun also die zweidimensionalen Grundformen der n-ten Klasse definiert als die Homöomorphieklasse folgender Standardgrundform SGⁿ in R² oder C.

SGⁿ={(x,y)Î R²:x²+y²£1 und (x-x_i)²+y²³r_i² für 1£i£n-1}

mit x_i=(2i/n)-1 und r_i=1/2n.

SGⁿ hat genau n Grenzlinien als Rand, so daß sich sofort Satz (7) ergibt. Außerdem erkennt man unmittelbar die Achsensymmetrie, so daß durch homöomorphe Selbstabbildung eine Orientierung von SGⁿ umgekehrt werden kann.

Von einer Binion B wissen wir bereits, daß sie homöomorph zu S¹´[0,1] ist. Fassen wir nun SG² als Kr(O,1/4,1) auf, so gibt es viele Möglichkeiten, B homöomorph auf SG² abzubilden und damit als Grundform der zweiten Klasse auszuweisen. Insbesondere gilt folgendes für die weiteren Überlegungen wichtige Lemma.

Zum Beweis können wir explizit einen geeigneten Homöomorphismus angeben. Sei d:S¹´[0,1]® S¹ eine Homotopie zwischen der Identität d₀ und h=d₁, dann nehme für H die Abbildung

(y,t)®(d(y,t),t)

Bemerkungen:

Grundformen n-ter Klasse Gⁿ erhält man übrigens auch für Werte x_i wie oben, r_i£1/2n. Falls r_j<1/2n, wähle ein s_j mit 1/2n<s_j<1/n. Dann gibt es nach Bemerkung 2) einen Homöomorphismus h_j:Kr(x_j,r_j,s_j)®Kr(x_j,1/2n,s_j), der auf dem äußeren Rand die Identität ist. h_j setzt sich mit der Identität auf dem Komplement von Kr(x_j,r_j,s_j) in Gⁿ zu einem Homöomorphismus Gⁿ®SGⁿ zusammen.

Weitere Grundformen n-ter Klasse Gⁿ erhält man für Werte x_i und r_i, die die Grundbedingungen -1=x₀<x₁<...<x_n-1<x_n=1 und r_i+r_i+1<x_i+1-x_i mit r₀=r_n=0 erfüllen. Zunächst wähle man falls r_j>1/2n ein s_j>r_j, so daß die Grundbedingungen mit s_j anstelle r_j noch erfüllt werden. Dann gibt es wie oben einen Homöomorphismus Kr(x_j,r_j,s_j)®Kr(x_j,1/2n,s_j), der sich auf ganz Gⁿ ausdehnen läßt, so daß im Bild insbesondere die Grundbedingungen mit 1/2n anstelle r_j noch erfüllt sind. So kann man erreichen, daß in Gⁿ stets die Bedingung r_i£1/2n zusätzlich zu den Grundbedingungen erfüllt ist.

Sei nun x_j der größte unter den x_i, der kleiner als (2j/n)-1 ist. Dann ist insbesondere x_j+1, falls es noch vorkommt, größer oder gleich (2(j+1)/n)-1. Wähle nun s_j, so daß 1/n>s_j>r_j ist und die Grundbedingungen mit s_j anstelle von r_j noch erfüllt sind. Es gilt dann x_j-1+r_j-1<x_j-s_j und (2j/n)-1+s_j<x_j+1-r_j+1. Eine Drehung von 180° der Kreisscheibe Ks((((2j/n)-1+x_j)/2,0),(((2j/n)-1-x_j)/2)+r_j) um ihren Mittelpunkt M bildet nun x_j auf (2j/n)-1 ab, r_j bleibt erhalten, ebenso die Grundbedingungen. Auf Kr(M,(((2j/n)-1-x_j)/2)+r_j,(((2j/n)-1-x_j)/2)+s_j) gibt es nach Bemerkung 2) zu Lemma (*) einen Homöomorphismus, der auf dem äußeren Rand identisch ist und auf dem inneren Rand die Drehung von 180° mitmacht. So kann nach endlich vielen Schritten unter Erhaltung der Grundbedingungen die Relation x_j³ (2j/n)-1 erreicht werden. Mit der analogen Methode kann auch jeweils der kleinste unter den x_i, der größer als sein Sollwert ist, mittels eines Homöomorphismus auf Gⁿ mit diesem in Übereinstimmung gebracht werden. So erreichen wir nach endlich vielen Schritten x_i=(2i/n)-1 und r_i£1/2n für alle i. Für diesen Fall ist die topologische Übereinstimmung mit SGⁿ bereits erwiesen.

Als nächstes kann die topologische Übereinstimmung zwischen einer Union U und SG₁ gezeigt werden. Der kritische Punkt P in U sei o.B.d.A. ein Minimum und der Funktionswert auf einer Randkomponente von U sei f(P)+c. Nach dem Lemma von Morse gibt es zunächst in einer Umgebung V von P eine Karte u:V®R², so daß f_°u^-1(x,y)=f(P)+(x²+y²) für (x,y)ÎV. Wähle in u(V) eine kompakte e-Umgebung U_e des Nullpunkts mit e<1 und e²<c. Nun ist f^-1[f(P)+e²,f(P)+c] eine Binion und es gibt nach Bemerkung 1) zu Lemma (*) einen Homöomorphismus f^-1[f(P)+e²,f(P)+c]®Kr(O,e,1), der auf dem inneren Rand mit u:f^-1[f(P),f(P)+e²]®U_e übereinstimmt. Damit haben wir einen Homöomorphismus U®U_e+Kr(O,e,1)=Ks(O,1)=SG¹.

Wir wollen nun Satz (8) beweisen und dabei die kombinatorische Tatsache ausnutzen, daß jede Permutation durch endlich viele Transpositionen benachbarter Elemente erzeugt werden kann. Die n Grenzlinien g_i von SGⁿ seien gezählt g_i:=K(x_i,r_i) und g_n:=S₁. Für alle i£n-1 gibt es einen Homöomorphismus H_i,i+1:SGⁿ®SGⁿ, so daß H_i,i+1(g_i)=g_i+1, H_i,i+1(g_i+1)=g_i und H_i,i+1(g_j)=g_j für alle j¹i,i+1. Wähle dazu für i£n-2 zwei Zahlen s und t mit 3/2n<s<t<5/2n. H_i,i+1 setzt sich dann aus einer starren Drehung um 180° auf Ks((((2j+1)/n)-1,0),s), der Identität außerhalb von Ks((((2j+1)/n)-1,0),t) und einem Homöomorphismus gemäß Bemerkung 2) zu Lemma (*) auf Kr((((2j+1)/n)-1,0),s,t), der auf seinen Rändern K((((2j+1)/n)-1,0),s) und K((((2j+1)/n)-1,0),t) mit der dort bereits definierten Abbildung übereinstimmt. Bleibt die Transposition H_n-1,n zu konstruieren. Damit wird insbesondere gezeigt, daß g_n, obwohl es in der Ebene die übrigen Grenzlinien von SGⁿ umschließt, topologisch nicht vor ihnen ausgezeichnet ist. Darauf hat auch Möbius [§.11] hingewiesen:

Der Einfachheit halber wollen wir etwas anders vorgehen. Ein dünner Kreisring Kr(O,1-e,1) in SGⁿ werde zunächst topologisch auf Kr(O,1-e,1+e) ausgedehnt, mit Hilfe eines Homöomorphismus H, der auf Ks(O,1-e) identisch ist. H(SGⁿ), das SGⁿ enthält, liege nun in der x,y-Ebene des R³. SGⁿ werde längs der z-Richtung auf die untere Hemisphäre von S₂ projiziert. Von Kr(O,1,1+e) werde ein Homöomorphismus zu Ks(O,1)\Ks(x_n-1,r_n-1), das die Grundbedingungen für G² erfüllt, hergestellt, der auf K(O,1) identisch sei. Dieses G² werde längs der z-Richtung auf die obere Hemisphäre von S₂ projiziert, das Bild von g_n liegt nun mit g_n-1 symmetrisch zur x,y-Ebene. Jetzt wähle man zwei Zahlen s und t mit x_n-2+r_n-2<s<t<x_n-1-r_n-1. Das Stück von S², wo x³t ist, drehe man 180° um die x-Achse, während das Stück von S², wo x£s ist, festbleibt. Das Stück s£x£t in S² ist eine Binion und kann daher nach Bemerkung 2) zu Lemma (*) topologisch abgebildet werden, so daß die Abbildung auf den Rändern mit den dort bereits definierten Abbildungen übereinstimmt. Nach Umkehrung der vorausgegangenen Schritte erhalten wir die gewünschte Transposition H_n-1,n. So ist also auf SGⁿ für jede Permutation s von {1,...,n} die entsprechende Permutation ihrer Grenzlinien mit Hilfe eines Homöomorphismus Hs zu erreichen. Sind also a und b Grundformen der n-ten Klasse mit den Grenzlinien a₁,...,a_n bzw. b₁,...,b_n, so gibt es Homöomorphismen h_a:a®SGⁿ und h_b:b®SGⁿ, und h_b^-1_°H_s°h_a ist für eine geeignete Permutation s ein Homöomorphismus, der die Forderungen von Satz (8) erfüllt.

Jetzt kann auch Satz (9) bewiesen werden. Seien Homöomorphismen h₁:c®SGⁿ und h₂:y®SGⁿ gegeben. Mit Hinweis auf Satz (8) kann angenommen werden, daß unter h₂^-1_°h₁:c®y jede Grenzlinie auf sich selbst abgebildet wird. Bei orientierten Flächen sind die Grenzlinien als Ränder von c und y entgegengesetzt orientiert. Da stets eine orientierungsumkehrende Spiegelung von SGⁿ möglich ist, kann angenommen werden, daß h₂^-1_°h₁, eingeschränkt auf die Grenzlinien von c, die Orientierung umkehrt. h₂^-1_°h₁ ist also auf jeder Grenzlinie homotop zur Identität, genauso h_2°h₁^-1, das nur auf den Grenzlinien von SGⁿ definiert ist. Nach Bemerkung 3) zu Lemma (*) kann h_2°h₁^-1 zu einer homöomorphen Selbstabbildung H auf SGⁿ erweitert werden. h₂^-1_°H_°h₁ ist also ein Homöomorphismus, der die Bedingungen von Satz (9) erfüllt.

Die Verheftung zweier Grundformen a und b, die genau eine Grenzlinie g gemeinsam haben, aber nicht beide zur ersten Klasse gehören, ist wieder eine Grundform. Seien h₁:a®SG^m und h₂:b®SGⁿ Homöomorphismen, o.B.d.A. n³m und n³2, so daß die gemeinsame Grenzlinie g auf die äußere Grenze K(O,1) von SG^m und auf die innere Grenze K(x₁,r₁) von SGⁿ abgebildet wird, was mit Satz (8) immer möglich ist. Die lineare Abbildung l mit der Vorschrift (x,y)®(r₁x+x₁,r₁y) bildet SG^m in die Öffnung Ks(x₁,r₁) von SGⁿ ab. Nach Bemerkung 3) zu Lemma (*) läßt sich h₂ so angeben, daß es auf g mit l_°h₁ übereinstimmt. Das Bild von a+b unter dem zusammengesetzten Homöomorphismus erfüllt dann mit den m-1 verkleinerten inneren Grenzlinien von SG^m und den verbleibenden n-2 inneren Grenzlinien von SGⁿ die Grundbedingungen für SG^m+n-2.

Es bleibt Satz (6) zu beweisen. Sei also eine echte Teilmenge aus der Menge der Grenzlinien von SGⁿ gegeben. Mit Satz (8) sind es o.B.d.A. g₁,...,g_m mit m<n. Die gesuchte Linie ist dann K(((m+1)/n)-1,m/n). Sie dient dann für die eine Grundform als innere Grenzlinie und für die andere - nach deren zentrischer Streckung um den Faktor n/m - als äußere Grenzlinie.

Der schwierigste und letzte Schritt besteht in dem Nachweis, daß jede Ternion homöomorph zu SG³ ist. Faßt man SG³ als Binion mit angeheftetem Henkel auf, ist das eine Aussage der Morse-Theorie, die als Diffeomorphie-Aussage in beliebigen Dimensionen bei Smale [1961, 403, Theorem (6.1)] bewiesen wird.

Hirsch reduziert die Klassifikation der Flächen, was nach seiner eigenen Einschätzung [1976, 188] von Möbius im Ansatz vorweggenommen wurde, auf eine ähnliche Aussage: Ein Flächenstück mit einer Morsefunktion, die genau zwei Minima, einen Sattelpunkt und keinen weiteren kritischen Punkt enthält, ist diffeomorph zur Einheitskreisscheibe [Hirsch 1976, 189 und 194-199].

Sei also in diesem Abschnitt f:T®R die auf die Ternion T eingeschränkte Morsefunktion, wobei T genau einen Sattelpunkt P enthalte und der Rand von T ganz in den beiden Niveaus f^-1({a}) und f^-1({b}) enthalten sei. Ferner sei f(P)=c und u:V®R² eine Karte für eine Umgebung V von P, so daß f_°u^-1(x,y)=c+x²-y² für alle (x,y)Îu(V). Sei U_e eine ganz in u(V) gelegene e-Umgebung des Ursprungs. Ferner benötigen wir eine Morsefunktion F, die in u^-1(Ue) etwas größer als f ist und dort wie f den Sattelpunkt P und keinen weiteren kritischen Punkt hat. Außerhalb von u^-1(Ue) soll F mit f übereinstimmen. Dazu benötigen wir eine C^¥-Funktion µ:R®R, deren Existenz wir voraussetzen, mit µ(0)=e²/2, µ(r)=0 für r>e und -1<µ'(r)£0 für alle r. Definiere

H_e(x,y):=µ(x²+y²) für (x,y)ÎU_e

und H_e(x,y)=0 sonst.

Es sei also F=f+H_e°u. Weil F(P)=c+e²/2 ist, enthält F^-1[a,c+(e²)/4] keinen kritischen Punkt und besteht aus lauter Binionen. Ebenso besteht f^-1[c+(e²)/4,b] aus lauter Binionen. f^-1[a,c+(e²/4)]\F^-1[a,c+(e²/4)] wird nun durch u homöomorph auf den "Henkelkörper" H= {(x,y)ÎR²½x²-y²£e²/4, x₂-y₂+H_e(x,y)³e²/4} abgebildet, der punktsymmetrisch zum Ursrung liegt. Das Innere von H liegt in Ue, denn im Innern von H gilt x²-y²<e²/4 und x²-y²+H_e(x,y)>e²/4, also insbesondere H_e(x,y)>0. Der Rand von H enthält die beiden Hyperbeläste x²-y²=e²/4, soweit sie im Abschluß von U_e liegen, denn dort ist wegen H_e³0 auch die zweite Bedingung erfüllt. Die beiden anderen Randstücke mit x²-y²+H_e(x,y)=e²/4 liegen jeweils vollständig in einem der Bereiche y>0 und y<0 und heißen dementsprechend k⁺ und k^-. Die beiden Hyperbeläste, die nach ihrer Lage im Bereich x>0 oder x<0 mit h⁺ und h^- bezeichnet seien, werden durch u^-1 homöomorph in das Niveau f^-1({c+e²/4}) abgebildet. Dabei sind genau die beiden Fälle zu unterscheiden, daß u^-1(h⁺) und u^-1(h^-) in einundderselben oder verschiedenen geschlossenen Linien von f^-1({c+e²/4}) liegen.

Im ersten Fall werden die vier Eckpunkte von H, wie ich die Punkte

e₁=(eÖ(5/8), eÖ(3/8))

e₂=(-eÖ(5/8), eÖ(3/8))

e₃=(-eÖ(5/8),-eÖ(3/8))

e₄=(eÖ(5/8), -eÖ(3/8))

nennen möchte, in ihrer zyklischen Reihenfolge auf die geschlossene Linie l abgebildet. Die Reihenfolge (1,3,2,4) impliziert die Nichtorientierbarkeit der Fläche, steht also im Widerspruch zu der an anderer Stelle bereits gemachten Voraussetzung der Orientierbarkeit. Die Reihenfolge (1,2,4,3) steht im direkten Widerspruch zur homöomorphen Abbildung. Damit bildet der zwischen u^-1(e₁) und u^-1(e₂) liegende Abschnitt von l zusammen mit u^-1(k⁺) eine geschlossene Linie l' im Niveau F^-1({c+(e²/4)}), ebenso bildet der zwischen u^-1(e₃) und u^-1(e₄) liegende Abschnitt von l zusammen mit u^-1(k^-) die geschlossene Linie l".

Da ein Homöomorphismus zwischen zwei Binionen zwischen zwei Randkomponenten beliebig vorgegeben werden kann, worauf ich in Bemerkung 1) zu Lemma (*) hingewiesen habe, läßt sich der Homöomorphismus u:f^-1[a,c+(e²/4)]\F^-1[a,c+(e²/4)]®H folgendermaßen ausdehnen. Zusätzlich seien die Bögen (e₁,e₂) und (e₃,e₄) auf dem Rand von U_e mit l⁺ und l^- bezeichnet. Wähle einen Homöomorphismus von l' nach k⁺+l⁺, der auf u^-1(k⁺) mit u übereinstimmt, und entsprechend einen von l" nach k^-+l^-, der auf u^-1(k^-) mit u übereinstimmt. Aus den entsprechenden Teilen von diesen setzt sich ein weiterer Homöomorphismus von l nach l⁺+h⁺+l^-+h^- zusammen. Die Zusammenhangskomponenten von l' und l" in f^-1[a,c+(e²/4)] sowie l in F^-1[a,c+(e²/4)] sind Binionen und deshalb homöomorph zu B'=(k⁺+l⁺)´[-1,0], B"=(k^-+l^-)´[-1,0] und B=(l⁺+h⁺+l^-+h^-)´[0,1] in R³ vermöge einer Abbildung u*:T®H+B+B'+B", die auf H mit u übereinstimmt.

Die Homöomorphie zwischen H+B+B'+B" und einer zu SG³ homöomorphen Grundform der dritten Klasse kann auf elementare Weise gesehen werden. Sei S⁺ der Schnittpunkt der Tangenten an h⁺ in e₁ und e₄, S^- sei -S⁺. h⁺ und h^- können nun mittels Zentralprojektionen Z⁺ bzw. Z^- von S⁺ bzw. S^- aus homöomorph auf die in K(O,e) liegenden Bögen (e₁,e₄) und (e₂,e₃) abgebildet werden. Aus Z⁺, Z^- und der Identität auf l⁺ und l^- setzt sich der Homöomorphismus Z:(l⁺+h⁺+l^-+h^-)®K(O,e) zusammen. Daraus ergibt sich auch eine homöomorphe Abbildung (l⁺+h⁺+l^-+h^-)´[0,1]®Kr(O,e,1) mit der Vorschrift (s,t)®(t+e)Z(s)/(1+te) und folgende homöomorphe Abänderung von u in den Kegelbereichen von h⁺ bezüglich S⁺ und h^- bezüglich S^-. In diesen Kegelbereichen läßt sich jeder Punkt mit Ausnahme der Zentren eindeutig als ts mit tÎ(0,1] und sÎh⁺+h^- darstellen, die Abbildung ts®tZ(s) stimmt auf dem Rand der Kegelbereiche mit den dort bereits angegebenen Homöomorphismen überein. Wähle nun in den Innenräumen von k⁺+l⁺ und k^-+l^- die Punkte p⁺ und p^- auf der y-Achse und ein d, so daß die Kreise K(p⁺,d) und K(p^-,d) noch ganz im jeweiligen Innenraum liegen. Weil die Abschlüsse dieser Innenräume konvex sind, gibt es zu jedem darin liegenden Punkt p eine von p⁺ bzw. p^- ausgehende Zentralprojektion p(p) in k⁺+l⁺ oder k^-+l^-. Der von k⁺+l⁺ und K(p⁺,d) berandete Bereich wird nun durch die Abbildung p®(p(p),(|p-p⁺|-|p(p) -p⁺|)/(|p(p) -p⁺|-d)) homöomorph auf B'=(k⁺+l⁺)´[-1,0] abgebildet Die Einschränkung dieser Abbildung auf k⁺+l⁺ ist die Identität. Dieselbe Betrachtung für den von k^-+l^- und K(p^-,d) berandeten Bereich ergibt sich durch Spiegelung an der x-y-Ebene.

Eine ähnliche Betrachtung kann für den Fall durchgeführt werden, daß die Urbilder unter u von h⁺ und h^- in verschiedenen geschlossenen Linien von f^-1({c+(e²/4)}) liegen. Dann bezeichnen wir mit l⁺ und l^- die auf dem Rand von U_e liegenden Bögen (e₂,e₃) und (e₄,e₁). T ist dann wieder homöomorph zu H+B+B'+B", wobei B=(k⁺+l⁺+k^-+l^-)´[-1,0], B'=(h⁺+l⁺)´[0,1] und B"=(h^-+l^-)´[0,1].