Diese Aussagen erfahren bei Möbius keinen ausdrücklichen Beweis. Es gibt aber vergleichbare Aussagen in der modernen Morse-Theorie. Fassen wir zunächst die Schnitte zwischen e_i und j als Niveauflächen f^-1({c_i}) der Funktion f:j ®R, f(x,y,z)=z auf. Sei a eine Zusammenhangskomponente von f^-1([c_j,c_j-1]), wobei im Intervall [c_j,c_j-1] höchstens ein kritischer Wert w¹c_j,c_j-1 von f liegt. Enthält a keinen kritischen Punkt von f, so ist a homöomorph zu S₁´[0,1] (Satz der Vorbemerkungen). Enthält a ein Maximum oder ein Minimum, so ist a homöomorph zu D₂, wie ich unten zeigen werde. Enthält a einen Sattelpunkt, so ist zu zeigen, daß a homöomorph zu einer "Hosenfläche" mit drei Grenzlinien ist. Demnach besteht der Rand von a aus einer Grenzlinie, wenn a ein Maximum oder ein Minimum enthält, aus zwei Grenzlinien, wenn a keinen kritischen Punkt enthält, und aus drei Grenzlinien, wenn a einen Sattelpunkt enthält. Alle Grenzlinien liegen aber auf einem der Niveaus f^-1({c_j}) oder f^-1({c_j+1}). Falls a kein Minimum oder Maximum enthält, ist notwendigerweise in beiden Niveaus mindestens je eine Grenzlinie enthalten. Damit ergeben sich genau die bei Möbius unterschiedenen Fälle. Nach der Zahl seiner Grenzlinien heißt a bei Möbius Union, Binion oder Ternion.

Die bei Möbius folgenden Ausführungen über die Aufstellung und Reduktion eines Flächenschemas, das die benötigten Informationen über den Aufbau einer Fläche trägt, möchte ich hier nur zusammenfassend darstellen, da sie in der einschlägigen Arbeit [Pont 1974, 92-97] ausführlich behandelt sind. Aus der Menge der Schnittlinien in den Ebenen f^-1({c_i}) werden dabei die Teilmengen ausgewählt, die innerhalb eines Flächenstücks f^-1([c_j,c_j+1]) einer Zusammenhangskomponente angehören. Dieses System von Teilmengen bildet im wesentlichen das von Möbius verwendete Ausgangsschema. Seine zeilenweise Notation läßt allein noch die Entstehung des Schemas aus der Form einer Fläche erkennen. Die formalen Operationen, die Möbius am Schema durchführt, sind aber davon unabhängig. Eine formale und von der geometrischen Figur abgelöste Argumentation, wie sie bei Möbius zum ersten Mal im Rahmen einer topologischen Fragestellung auftaucht, gehört heute zu den Grundprinzipien der algebraischen Topologie.

Wir wollen ein Schema nun als kombinatorische Struktur auffassen, deren Punkte Grenzlinien und deren Blöcke Grundformen entsprechen, so daß folgende Gesetze erfüllt sind:

Zwei Schemen heißen äquivalent, wenn sie durch endlich viele der folgenden beiden zueinander inversen Operationen ineinander übergeführt werden können.

Zunächst kann man das Ausgangsschema als Schema im eben definierten Sinn auffassen, das aus Blöcken mit je höchstens drei Punkten besteht. Daß dieses Ausgangsschema nur endlich viele Punkte enthält, ergibt sich daraus, daß es im Niveau f^-1({c₁}) genau eine Grenzlinie gibt. Da von f^-1({c_m-1}) nach f^-1({c_m}) die Anzahl der Grenzlinien sich stets nur um 1 ändert, sind in jedem Niveau nur endlich viele Grenzlinien enthalten, und da es nur endlich viele dieser Niveaus gibt, ist die Zahl der Grenzlinien überhaupt endlich. Darüber hinaus gehört eine Grenzlinie, die o.B.d.A. im Niveau f^-1({c_m}) liegt, genau zu ihren beiden Zusammenhangskomponenten in f^-1([c_m-1,c_m]) und f^-1([c_m,c_m+1]) und damit zu genau zwei Grundformen, denen je ein Block des Ausgangsschemas entspricht. Nach Voraussetzung ist j wegweise zusammenhängend. Zwischen zwei Grenzlinien gibt es also einen Verbindungsweg in j. Die Folge der Grenzlinien, die dieser Weg schneidet, entspricht einer Folge von Punkten mit den in (3) geforderten Eigenschaften.

Wir wollen nun für jedes Schema Normalformen ableiten. Zunächst kann das Schema dadurch vereinfacht werden, daß je zwei Blöcke, die nur einen Punkt gemeinsam haben, nach Regel (4) verknüpft werden. Nach endlich vielen Schritten gibt es dann keine zwei Blöcke, die genau einen Punkt gemeinsam haben. Nun mag es Paare von Blöcken (a,c) geben, die mehrere, aber nicht alle Punkte gemeinsam haben. Einer von beiden, es sei c, muß dann mindestens zwei Punkte mit einem dritten Block d gemeinsam haben. Es seien etwa a={a₁,...,a_n,a_n+1,...,a_n+m}, c={a₁,...,a_n,b₁,...,b_j,c₁,...,c_k} und d={b₁,...,b_j,d₁,...,d_h} mit n³2 und j³2, wobei verschiedene Symbole paarweise verschiedene Punkte seien. Nehme nun gemäß (5) einen Punkt x zur Zerlegung {a₁,b₂,...,b_j,c₁,...,c_k}+{b₁,a₂,...,a_n} von c. Dann lassen sich gemäß (4) {a₁,...,a_n+m} und {x,a₁,b₂,...,b_j,c₁,...,c_k} zu {x,a₂,...,a_n+m,b₂,...,b_j,c₁,...,c_k} sowie {x,b₁,a₂,...,a_n} und {b₁,...,b_j,d₁,...,d_h} zu {x,a₂,...,a_n,b₂,...,b_j,d₁,...,d_h} kombinieren. Damit ist die Zahl der Blöcke um eins reduziert und die beiden neu entstandenen Blöcke haben mindestens zwei Punkte, nämlich x und a₂ gemeinsam. So kann in endlich vielen Schritten erreicht werden, daß je zwei Blöcke alle Punkte gemeinsam haben. Da auch dieses Schema zusammenhängend ist, kann es nur zwei Blöcke enthalten. Dieses Schema heiße Linsenmodell der untersuchten Fläche. Äquivalent dazu ist das von Möbius zusätzlich angeführte Zwei-Kugel-Modell.

Das Zwei-Kugel-Modell, als Schema aufgefaßt, besteht aus 2n Punkten g₁,...,g_2n und den n+2 Blöcken {g₁,...,g_n}, {g_n+1,...,g_2n} und {g₁,g_n+1}, {g₂,g_n+2}, ..., {g_n,g_2n}, von denen die ersten beiden die mit Öffnungen versehenen Kugelflächen darstellen und die übrigen n Blöcke die Röhren. Nach der Beschreibung von Möbius zeigt die Zerlegung jeder Röhre {g_i,g_n+i} durch eine Linie x_i gemäß (5) und die anschließende Verknüpfung der Röhrenhälften mit der jeweils anliegenden Kugelöffnung gemäß (4) die Äquivalenz zum Linsenmodell aus zwei Blöcken {x₁,...,x_n}. Dieses beschreibt Möbius folgendermaßen.

Aus dem Linsenmodell kann auch leicht das moderne Henkelmodell abgeleitet werden, dessen Schema mit dem eines von Möbius formulierten Kanalmodells übereinstimmt. Ein Linsenmodell bestehe also aus dem wiederholten Block {l₁,...,l_n}. Einen von beiden zerlege man gemäß (5) in {l₁}+{l₂,...,l_n} und nehme den Punkt x₁ hinzu, für wachsendes i=1,...,n-1 nehme man den Punkt x_i zur Zerlegung {l_i}+{x₁,...,x_i-1,l_i+1,...,l_n} hinzu. Dann verknüpfe man {l₁,...,l_n} mit {x₁,...,x_n-1,l_n} zu einem Block, den man als Kugelfläche mit den 2n-2 Öffnungen x₁,...,x_n-1,l₁,...,l_n-1 auffassen kann. Die entstandenen n-1 Röhren {l_i,x_i} kann man entweder als Henkel oder als Wände von Kanälen auffassen, die durch das Kugelinnere führen und sich nicht treffen.

Aus den abgeleiteten Normalformen ergibt sich nun die Klassifikation der Schemen mit Hilfe folgender Invarianten. Bei der Operation (4) verschwindet aus dem Schema ein Punkt und die Zahl der Blöcke wird ebenfalls um eins vermindert. Entsprechend kommt bei (5) ein Punkt hinzu und die Zahl der Blöcke erhöht sich um eins. Die Differenz D aus den Anzahlen der Punkte und der Blöcke bleibt also bei beiden Operationen erhalten und ist bei äquivalenten Schemata gleich. Bei einem Linsenmodell mit n Punkten beträgt diese Zahl n-2. Im Ausgangsschema befinden sich nur Blöcke mit einer, zwei oder drei Punkten, deren Anzahlen ich mit g¹,g²,g³ bezeichnen möchte. Da jeder Punkt in zwei Blöcken vorkommt, beträgt D dort ½(g¹+2g²+3g³) - (g¹+g²+g³)=½(g³-g¹). Die Identität g³-g¹=2(n-2) erweist sich mit der oben wiedergegebenen Argumentation von Möbius als Morsesche Formel.