Berührungspunkte und Morsefunktionen

Zu einer geschlossenen Fläche j, die man sich der leichtern Auffassung willen als stetig gekrümmt und sich selbst nicht schneidend vorstelle, denke man sich eine etwa horizontale Ebene e hinzu, welche in ihrer anfänglichen Lage e0 der Fläche j in keinem Punkt begegne und sie daher ganz auf einer Seite, es sey auf ihrer unteren, von sich liegen habe. Werde diese Ebene e parallel mit sich nach unten fortgeführt, bis zuletzt die Fläche j ganz auf der obern Seite von e liegt, so wird das erste Zusammentreffen von e mit j, desgleichen auch das letzte eine blosse Berührung seyn. Zwischen diese zwei Berührungen können auch noch mehrere andere fallen. Immer aber wird j von e zwischen je zwei nächstfolgenden Berührungen in einer oder mehrern geschlossenen und weder sich selbst, noch einander schneidenden Linien geschnitten werden. Ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit können und wollen wir hierbei annehmen, dass in keine Lage von e zwei oder mehrere Berührungen zugleich fallen. Auch wollen wir noch setzen, dass jede Berührung immer nur in einem Punkte, nicht in einer Linie geschieht, und eine gewöhnliche, also entweder eine elliptische oder eine hyperbolische ist. [Möbius 1863 §.6]

Eine Berührung zwischen zwei Flächen ist präzise als ein gemeinsamer Punkt aufzufassen, in dem die Normalenrichtungen übereinstimmen. Ist wie hier eine der beiden Flächen eine Ebene, so ist sie demnach eine Tangentialebene der andern Fläche.

Für Möbius stellt die Annahme, daß in eine Lage der Ebene höchstens eine Berührung fällt, keine Beschränkung der Allgemeinheit dar. Seine Formulierung etwa horizontal, scheint ferner darauf hinzudeuten, daß es im Falle einer mehrfachen Berührung ausreicht, die Normale der Ebene gegen die vorgegebene Vertikalrichtung beliebig wenig zu kippen. Daß das stimmt, ist aber nicht offensichtlich. Diese Aussage steht strenggenommen unabhängig von der Forderung der gewöhnlichen Berührung, die Möbius unmittelbar danach für alle Berührungspunkte macht. Gewöhnliche Berührungen zwischen zwei Flächen sind im allgemeinen solche, in denen die Krümmung beider Flächen nicht übereinstimmt. Ist eine der Flächen wieder eine Ebene, so findet die gewöhnliche Berührung mit der anderen Fläche in einem Punkt mit nicht verschwindender Krümmung statt. Es liegt nun nahe, die unterschiedlichen Lagen der Ebene als Flächen gleicher Höhe über einer Nullebene anzusehen. Fassen wir die Höhe als Funktion h:R3® R auf, die man insbesondere auf der zu untersuchenden Fläche j betrachten kann. Wir können annehmen, daß j mittels einer C¥-Einbettung im R3 liegt. Die Berührungen der Ebene mit j entsprechen dann kritischen Punkten der Höhenfunktion h:j ® R im Sinne der Morse-Theorie, denn in den Berührungspunkten der Fläche und nur dort ist die Tangentialebene parallel zur Nullebene, was gleichbedeutend damit ist, daß die ersten Ableitungen der Höhenfunktion dort verschwinden. Die Forderung endlicher Krümmung in den Berührungspunkten ist aber gleichbedeutend damit, daß dort die Hessesche Determinante von h nicht verschwindet, und das heißt nach Definition, daß die kritischen Punkte von h nicht-ausgeartet sind. Da Lage und Art der Berührungspunkte von der speziellen Höhenfunktion bestimmt werden, hat diese Forderung ihren Platz in dem Teil der Morse-Theorie, der Untersuchungen an einer vorgegebenen Morsefunktion anstellt. Im Sinne einer Überlegung, die Eigenschaften von vorgegebenen Mannigfaltigkeiten mit Hilfe der Morse-Theorie untersucht, muß die Existenz einer Funktion mit den geforderten Eigenschaften durch Eigenschaften der Mannigfaltigkeit garantiert werden. Es gibt jedenfalls keine sinnvolle Bedingung an Flächen, die etwa für alle von Möbius in Betracht gezogenen Fälle garantiert, daß die Berührungen gewöhnlich sind. Denn geschlossene Flächen, die nicht zur Sphäre homöomorph sind, enthalten immer Punkte, an denen die Krümmung verschwindet. Solche Punkte sind bei Möbius in keiner Weise auf den Flächen ausgezeichnet.

Die Richtungen von Flächennormalen aber, die in Punkten mit verschwindender Krümmung vorkommen, sind unter allen Richtungen eine Nullmenge. Präziser formuliert: Sei das Normalenbündel N:j ® P2R stetig differenzierbar. Ein Punkt aus j mit verschwindender Krümmung ist dann ein kritischer Punkt von N. Nach dem Satz von Sard hat aber das Bild der Menge der kritischen Punkte in der Bildmannigfaltigkeit Maß 0. Fast alle Raumrichtungen sind damit als Koordinatenrichtung geeignet, so daß die zugehörige Koordinatenfunktion eine Morsefunktion ist.

Milnor [1963, 14, Theorem 3.2] nimmt in seiner Darstellung der Morse-Theorie zunächst an, daß in ein Niveau c einer Morsefunktion f nur ein nicht-ausgearteter kritischer Punkt fällt und zeigt, daß f-1(-¥,c+e] für genügend kleines e aus f-1(-¥,c-e] durch Anheften einer l -Zelle entsteht, wobei l der Index des kritischen Punktes ist. Seine Überlegung läßt sich auf den Fall übertragen, daß in das Niveau c endlich viele kritische Punkte p1,...,pk mit Indizes l1,...,lk fallen, wie er im Anschluß an den Beweis bemerkt [Milnor 1963, 19, Remark 3.3]. f-1(-¥,c+e] entsteht dann aus f-1(-¥,c-e] durch Anheften von k Elementarzellen entsprechender Dimensionen. Daß auf einen kritischen Wert von f nur endlich viele kritische Punkte fallen, garantiert das Lemma von Morse, aus dem direkt folgt, daß nicht-ausgeartete kritische Punkte isoliert sind, zusammen mit der Bedingung, daß f-1(-¥,c] für jedes c kompakt ist.

Möbius vermeidet in der oben wiedergegebenen Überlegung, die Höhe als Zahlwert aufzufassen. Letzteres kommt ausdrücklich erst in einer Art Korollar an einer späteren Stelle [§.19] vor, die zugleich erkennen läßt, welchen Stellenwert er dieser Auffassung zumißt. Ohne die Zahlwerteigenschaft argumentativ zu benutzen, kann er mit ihr Maximum und Minimum erklären und so seinem Ergebnis größere Anschaulichkeit verleihen.

In der Gleichung (A), durch welche so eben die Classenzahl n einer Fläche mittelst der Zahlen u und t von Grundformen der ersten und der dritten Classe bestimmt wurde, kann man die letztern Zahlen noch auf andere Weise definiren und damit der Gleichung selbst eine noch leichter zu fassende Bedeutung abgewinnen.

... Die Zahl u der Grundformen erster Classe ist daher auch = der Zahl der Punkte, in denen die Fläche j von einer mit e0 parallel sich fortbewegenden Ebene e elliptisch berührt wird, und ebenso ist t die Zahl der hyperbolischen Berührungspunkte von j mit e.

Sey nun E ein elliptischer und H ein hyperbolischer Berührungspunkt, so hat nach der Natur der elliptischen Berührung der Punkt E unter allen ihm nächsten Punkten der Fläche j entweder den grössten, oder den kleinsten Abstand von e0 oder von sonst einer festen mit e0 parallelen Ebene e, je nachdem der dem E nächstliegende Theil von j der Ebene e seine hohle, oder seine erhabene Seite zuwendet; und ähnlicher Weise ist der Abstand des H von e ein Maximum und ein Minimum zugleich. Man kann daher u auch als die Zahl der Punkte der Fläche j definiren, deren Abstände von einer beliebigen festen Ebene e theils Maxima, theils Minima sind, und t als die Zahl der Punkte von j, deren Abstände von derselben Ebene e Maxima und Minima zugleich sind. Zwischen diesen beiden Zahlen aber und der Classenzahl n von j wird immer die Gleichung (A) bestehen.

So aufgefaßt ist die Gleichung (A) eine der Morseschen Formeln für zwei Dimensionen, auf die ich unten zurückkomme. Die Auffassung ein und derselben Punkte als Berührungspunkte der Fläche mit einer bewegten Mannigfaltigkeit einerseits und andererseits als Extremalstellen einer Funktion auf der Fläche ist vergleichbar mit der doppelten Formulierung der Stetigkeit im ersten Paragraphen. Sie dient der Anschauung, und die Äquivalenz der Formulierungen bedarf auch keines Nachweises, sei es aufgrund ihrer Evidenz oder gemäß ihrem Anspruch als Verständnishilfe.

Im direkten Anschluß daran läßt Möbius [§.20] auch konzentrische Kugelflächen an Stelle von parallelen Ebenen zu, die er als Spezialfall konzentrischer Kugelflächen auffaßt, und den Abstand von einem Punkt an Stelle des Abstandes von einer Ebene. Er weist darauf hin, daß seine ganze Argumentation auf diese Situation übertragbar ist.

Die zur Theilung der Fläche j in Grundformen der drei ersten Classen gebrauchten parallelen Ebenen e0, e1, .. kann man als Stücke von Kugelflächen betrachten, welche einen gemeinsamen im Unendlichen liegenden Mittelpunkt haben. Zu dem selben Zwecke kann man aber auch eine Reihe endlicher Kugelflächen mit einem gemeinsamen beliebig zu wählenden Mittelpunkte anwenden und dadurch zu einer noch etwas allgemeinern Auffassung der Zahlen u und t gelangen.

...; und es erhellet, dass, wenn O das gemeinsame Centrum der letzteren, E einen elliptischen und H einen hyperbolischen Berührungspunkt bezeichnet, unter allen von O an Punkte von j, welche dem E unendlich nahe liegen, zu ziehenden Radien der Radius OE ein Maximum oder Minimum ist, je nachdem die Fläche j in der Nähe von E ihre hohle oder ihre erhabene Seite dem O zukehrt, der Radius OH aber unter allen ihm nächsten Radien ein Maximum und ein Minimum zugleich ist.

Dieser Schritt ist besonders interessant, weil Milnor einen Existenzsatz für Morsefunktionen auf eingebetteten Mannigfaltigkeiten gibt, die als Abstandsfunktion von einem Punkt des Rn definiert sind. Bei Möbius dient aber auch an dieser Stelle der Abstand nur der Veranschaulichung mit Maxima und Minima. Möbius bringt noch eine zusätzliche Veranschaulichung der Berührungspunkte ins Spiel, die in diesem Fall genau die Punkte von j sind, deren Flächennormale durch den Mittelpunkt O der konzentrischen Kugelflächen geht. O kann bei Möbius beliebig, nach Milnor beliebig mit Ausnahme einer Nullmenge im R3 gewählt werden. Der entsprechende Satz über die Flächennormalen durch einen festen Punkt O erweist sich als Verallgemeinerung eines Satzes von Reech, bei dem noch, wie Möbius [§.20) schreibt, unter surfaces fermées bloss die von mir so genannten Flächen der ersten Classe zu verstehen sind, - ähnlicher Weise, wie man die Gleichung E+F=K+2 als allgemeine Relation zwischen den Zahlen der Ecken, Flächen und Kanten eines Polyeders hinzustellen pflegt, obschon sie nur für diejenigen Polyeder gilt, deren Oberflächen geschlossene Flächen der ersten Classe sind. Flächen der ersten Klasse sind für Möbius diejenigen, die mit der Kugelfläche elementar verwandt sind.

Die nahezu explizite Verwendung von Funktionen auf j bleibt auf die beiden behandelten Fälle der Abstände von einer Ebene oder einem Punkt beschränkt. Möbius erkennt also keinen methodischen Zusammenhang, wie er durch den Begriff der Morsefunktion hergestellt wird. Stattdessen gelingt ihm eine Verallgemeinerung der Methode, die topologisches Aussehen hat und damit den inneren Zusammenhang seiner Arbeit stärkt. Sie bleibt aber im potentiellen Rahmen der Morse-Theorie und kann weiterhin als Verwendung spezieller Morsefunktionen interpretiert werden.

Die Zahlen u und t, durch welche die Classenzahl n einer geschlossenen Fläche j bestimmt wurde, lassen sich nach vor.§ auch definiren als die Zahlen der resp. elliptischen und hyperbolischen Berührungen der Fläche j mit einer veränderlichen Kugelfläche s, welche anfänglich die Fläche j ganz umhüllt und sich hierauf, ohne den Ort ihres Mittelpunktes O zu verändern, allmählig bis zu diesem Punkte zusammenzieht.

Man kann aber die Zahlen u und t in noch allgemeinerem Sinne auffassen, indem man anstatt einer veränderlichen Kugelfläche eine veränderliche Fläche der ersten Classe überhaupt anwendet, und kann dadurch den Hauptsatz des vor.§ auf folgende Weise noch verallgemeinern:

Wird irgend eine geschlossene Fläche c von einer zur ersten Classe gehörigen Fläche t anfänglich umschlossen, und verkleinert sich hierauf die t, eine Fläche der ersten Classe bleibend, nach und nach dergestalt, dass von je zwei nächstfolgenden Formen derselben die folgende von der vorhergehenden ganz umschlossen wird, und sich somit die t zuletzt in einen Punkt zusammenzieht, und dass die hierbei statt findenden successiven Berührungen von t mit c in Punkten, nicht in Linien geschehen, so ist, wenn von diesen Berührungen u elliptisch und t hyperbolisch sind, die Classenzahl der Fläche c, = ½(t-u) + 2.

Wie dieses Zusammenziehen der Fläche präzise zu verstehen ist, geht aus der an dieser Stelle [§.21] eingeschobenen Betrachtung hervor:

Um diesen Satz darzuthun, will ich vorher zeigen, dass und wie zwei körperliche Räume, deren jeder von einer geschlossenen Fläche der ersten Classe begrenzt ist, in el. verwandtschaftliche Beziehung gebracht werden können.

Diese präzise Aussage stellt sich entgegen der Anschauung als falsch heraus. Alexander hat die zweidimensionale Sphäre so in den R3 eingebettet, daß ihr Innenraum nicht mit dem Innenraum der Kugel homöomorph ist. Wir können aber o.B.d.A. im Sinne von Möbius annehmen, daß das homöomorphe Bild (T) einer Vollkugel (S) vom Radius 1 unter der C¥-Einbettung h:(S)® R3 die geschlossene Fläche c enthält. Dann stellen die Bilder Tr:=h(Sr) der Kugelflächen Sr vom Radius 0<r£1 um den Mittelpunkt M von (S) eine Schar von Flächen dar, so daß T1 die Fläche c ganz umhüllt und sich in den Punkt T0:=h(M) zusammenzieht, während r das Intervall [1,0] durchläuft.

Man könnte nun auf c die Funktion f betrachten, die einem Punkt x den Abstand zwischen h-1(x) und M zuordnet. Die entsprechende morsetheoretische Betrachtung anhand f unterscheidet sich aber nicht wesentlich von derjenigen auf h-1(c) anhand der Kugelflächen Sr. Möbius erkennt das und schreibt [§.21]:

Von letzterer ergiebt sich nach vor.§ die Classenzahl aus den Zahlen u und t der elliptischen und hyperbolischen Berührungen von j mit einer sich allmählig in s, s',.. und zuletzt in M zusammenziehenden Kugelfläche. Es haben aber, wie eben bemerkt worden, die Flächen j und c eine und dieselbe Classenzahl, und es entspricht jeder elliptischen oder hyperbolischen Berührung von j mit einer der s, s',.. eine resp. elliptische oder hyperbolische Berührung von c mit einer der t, t',..; folglich u.s.w.

Die letztere Behauptung kann mit einer weiteren von Möbius verstreut gegebenen Charakterisierung der Berührungspunkte verstanden werden. Demnach ist der Schnitt zwischen der untersuchten Fläche j und einer Lage der anfänglich betrachteten Ebene e bei einer elliptischen Berührung ein isolierter Punkt [§.6; §.10], bei einer hyperbolischen Berührung der Schnittpunkt zweier Linien [siehe unten] und in allen anderen Punkten von j eine Linie [§.6]. Die Behauptung von Möbius ergibt sich schon aus folgender allgemeineren Überlegung: Sei h:F® G ein Homöomorphismus von Flächen und f:G® R stetig. Dann ist für jeden Punkt p insbesondere f-1({f(p)}) homöomorph zu h-1(f-1({f(p)})), man betrachte dazu die Einschränkung von h-1 auf die Mengen f-1({f(p)}). Die Eigenschaft eines Punktes x aus G oder F, elliptischer oder hyperbolischer Berührungspunkt oder keines von beiden zu sein, ergibt sich aber schon aus der topologischen Struktur von f-1({f(x)}) bzw. h-1(f-1({f(x)})), also haben zwei Punkte p und h(p) in dieser Hinsicht die gleichen Eigenschaften.

Die von Möbius gegebene Charakterisierung trifft auch im allgemeineren Rahmen der Morse-Theorie auf Flächen zu. Das Lemma von Morse garantiert uns zunächst eine Umgebung U eines kritischen Punktes P mit einer Karte u:U® R2, so daß mit den beiden Projektionen u1 und u2 von u gilt: f(q)=f(P)±(u1(q)2±u2(q)2) für alle qÎ U, wobei die Vorzeichen vom Index des kritischen Punktes P abhängen. Eine elliptische Berührung hat Index 0 oder 2, je nachdem ob sie einem Maximum oder Minimum von f entspricht. In diesem Fall ist das innere Vorzeichen positiv und f(P) wird innerhalb von U nur in P angenommen. P ist also in f-1({f(P)}) ein isolierter Punkt. Eine hyperbolische Berührung hat Index 1 und das innere Vorzeichen ist negativ. Da die Funktion x2- y2 von R2 nach R genau auf den beiden Geraden y=x und y=- x verschwindet, die sich im Ursprung und damit innerhalb u(U) schneiden, besteht f-1({f(P)}) innerhalb von U aus zwei Linien, die sich in P schneiden.

Zu jedem nicht kritischen Punkt Q gibt es eine Umgebung U, in der kein kritischer Punkt liegt, und eine Karte u:U® R2, so daß [d(f°u-1)/dx2](u(Q)) nicht verschwindet. Mit (a,b)=u(Q) garantiert der Satz für implizite Funktionen dann Umgebungen V von aÎ R und W von bÎ R, so daß genau eine Abbildung g:V® W mit f° u-1(x,g(x))=f(Q) existiert. Außerdem ist gewährleistet, daß g stetig ist. g*:V® f-1({f(P)}) mit g*(x)=(x,g(x)) ist offensichtlich injektiv und stetig. g*:V® g*(V) ist somit bijektiv und die Umkehrung ebenfalls offensichtlich stetig.

Für jedes cÎ R ist insbesondere f-1({c}), falls es keinen kritischen Punkt enthält, eine Linie im modernen Sinn und besteht, da keine Ränder auftauchen, aus lauter geschlossenen Linien, wie Möbius [§.6] richtig, aber ohne Beweis bemerkt hat.

 

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