Topologie der Grundformen

Für Möbius ist eine Grundform der n-ten Klasse das homöomorphe Bild einer ebenen Fläche, deren Rand aus n geschlossenen Linien besteht. Die Formulierung läßt sich auf beliebige Dimensionen ausdehnen. n-dimensionale Grundformen sind dann homöomorphe Bilder abgeschlossener Gebiete des Rn, charakterisiert durch ihre Randmannigfaltigkeiten. Die Einfachheit des Begriffs täuscht darüber hinweg, daß die Topologie dieser Figuren schwierig und mit den anschaulichen Methoden, die Möbius verwendet, nicht ohne weiteres zu lösen ist. An den Stellen, wo Möbius die elementare Verwandtschaft zwischen solchen Figuren explizit und punktweise angeben muß, benutzt er gewisse Parametrisierungen, denen eine Zerlegung in geschlossene Mannigfaltigkeiten von um eins kleinerer Dimension zugrundeliegt. Diese Zerlegungen habe ich im folgenden zusammengestellt:

Jeder Linie l, welche von endlicher Länge ist, ist jede andere Linie l' von endlicher Länge elem. verwandt. Denn bezeichnen A und B die Endpunkte von l, A' und B' die Endpunkte von l', und denkt man sich die Linie l von A bis B in Elemente zerlegt, so kann man sich die l' von A' bis B' in gleichviel Elemente zertheilt vorstellen und kann den Elementen von l in ihrer Folge von A bis B die Elemente von l' in ihrer Folge von A' bis B', oder auch von B' bis A' entsprechend setzen. [§.2]

Im eindimensionalen Fall ist diese Argumentation im wesentlichen korrekt. Man sagt für Linie zur Unterscheidung von den geschlossenen Linien besser Strecke. Die Zerteilung einer Strecke in Linienelemente kann man direkt als Parametrisierung auffassen. Da alle abgeschlossenen Intervalle zueinander homöomorph sind, ist die Klassifikation der Strecken damit erledigt.

Die von Möbius versuchte Übertragung dieses Gedankengangs in die zweite Dimension sieht folgendermaßen aus.

... jeder Grenzlinie von a entspricht eine Grenzlinie von a'; woraus wir zuletzt noch schliessen, dass von zwei el. verwandten ebenen Flächen die eine von der selben Anzahl geschlossener Linien, wie die andere, begrenzt seyn muss.

Diese Bedingung ist aber zur el. Verwandtschaft zweier ebenen Flächen nicht bloss notwendig, sondern auch hinreichend. Denn wird die Fläche a nur von einer Grenzlinie f, und daher auch die a' nur von einer f' umschlossen, so nehme man in a innerhalb f beliebigwo einen Punkt A an und denke sich, was immer möglich ist, in a um diesen Punkt ein System von m(=¥) geschlossenen Linien f1, f2, ..,fm construirt, von denen die erste f1 den Punkt A in unendlicher Nähe umschliesst, und jede von der nächstfolgenden, die letzte fm von f selbst, in unendlicher Nähe umschlossen wird, und zerlege somit die Fläche a in das von f1 begrenzte Flächenelement und in m unendlich schmale Ringe f1f2, f2f3, .., fmf. [§.5.1)]

Um diese Parametrisierung zu vervollständigen, veranschaulicht Möbius noch ein System von Linien, die von jedem Punkt in f nach A führen, sich gegenseitig nicht schneiden, aber ganz a ausschöpfen [um der größeren Allgemeinheit willen gebe ich unten den Wortlaut des analogen dreidimensionalen Falls wieder].

Mit einem Hinweis auf den kleinen Riemannschen Abbildungssatz hätte Möbius diese anschauliche, aber mathematisch kaum zu handhabende Argumentation ersetzen können. Vom modernen Standpunkt fehlte dann lediglich eine Erweiterung des Riemannschen Abbildungssatzes, die besagt, daß sich die Abbildung, die das Innere des einfach zusammenhängenden Flächenstücks a konform auf die offene Einheitskreisscheibe abbildet, homöomorph auf die Grenzlinie von a fortsetzt. Wenn wir Grenzlinie durch den präziseren und tatsächlich engeren Begriff der Jordankurve ersetzen, erweist sich diese Aussage als richtig [Carathéodory 1913].

Darüberhinaus kann ein beliebig vorgegebener Homöomorphismus auf der Kreislinie durch Zentralprojektion auf jeden anderen Kreis mit gleichem Mittelpunkt übertragen werden, so daß er sich insbesondere zu einem Homöomorphismus auf der ganzen Einheitskreisscheibe erweitern läßt. Verzichtet man also auf die Konformität, kann ein Homöomorphismus zwischen zwei Jordankurven stets auf deren Innengebiete fortgesetzt werden.

Der entsprechende Satz für ebene Flächen, die von mehreren Jordankurven begrenzt sind, läßt sich ohne weiteres auf anschaulichem Wege ableiten [Kerékjártó 1923, 69 sq. und 120-122]. Sei also a ein abgeschlossenes Gebiet der Ebene, dessen Rand aus n Jordankurven g1, ...,gn besteht. a ist dann bogenweise zusammenhängend. Bögen, die teilweise auf dem Rand verlaufen, können immer durch Bögen im Inneren von a ersetzt werden, weil die Randkurven als Jordankurven tubulare Umgebungen wie der Einheitskreis haben. Wähle auf jeder Randkurve gi zwei Punkte A(gi) und E(gi), und in a zunächst einen Schnitt längs eines Bogens b1 von A(g1) nach E(g2). Nach diesem Schnitt bleibt a bogenweise zusammenhängend, denn zwischen zwei Punkten gab es ursprünglich einen Bogen, der, falls er b1 trifft, durch Stücke von b1 und g1 ersetzt werden muß. So können nacheinander Schnitte längs Bögen bi von A(gi) nach E(gi+1) in a gezogen werden, die sich nicht treffen. Nach dem Schnitt bn von A(gn) nach E(g1) zerfällt g1 in zwei Bögen g1' und g1" und das Zusammenhangsargument für a fällt weg. Genauer zerfällt jede Grenzlinie gi in zwei Komponenten, von denen eine gi' mit g1' und die andere gi" mit g1" zusammenhängt. a zerfällt daher in zwei Zusammenhangskomponenten, deren Rand jeweils eine Jordankurve ist, die im einen Fall zyklisch aus g1', b1, ..., gn', bn zusammengesetzt ist, im anderen Fall aus g1", b1, ..., gn", bn.

Nun gibt es mit der oben angegebenen Erweiterung des Riemannschen Abbildungssatzes einen Homöomorphismus h zwischen einer der beiden Zusammenhangskomponenten und dem oberen Teil y³0 von SGn. Zwischen der anderen Komponente und dem unteren Teil y£0 von SGn gibt es dann insbesondere einen solchen Homöomorphismus, der auf den Schnittbögen mit h übereinstimmt. Somit haben wir einen Homöomorphismus zwischen a und SGn konstruiert.

Damit wäre auch das Ziel von Möbius, nämlich eine Klassifikation der ebenen Flächen nach der Anzahl ihrer Grenzlinien erreicht. Die topologische Invarianz dieser Anzahl, die sich direkt aus der Invarianz des Randes ergibt, ist bei Möbius ausreichend begründet.

Möbius hatte für mehr als zwei Grenzlinien eine etwas andere Argumentation im Sinn. Grundlage dafür ist die Parametrisierung eines von zwei Grenzlinien berandeten Gebietes.

Ein ähnliches Verfahren lässt sich anwenden um die el. Verwandtschaft der Flächen a und a' darzuthun, wenn a zwei Grenzlinien f, g, und daher auch a' zwei dergleichen den erstern entsprechende f', g' hat. Denn man kann erstens die von f, g begrenzte Fläche a durch m-1 geschlossene und einander umschliessende Linien in m unendlich schmale Ringe zerlegen, von denen, wenn f die äussere und g die innere Grenze von a ist, der erste Ring die Linie f zur äussern Grenze, und der letzte die g zur innern hat. ... [§.5.2)]

Die Zerlegung eines Gebietes mit n Grenzlinien in n-1 Gebiete mit je 2 Grenzlinien veranschaulichen die nebenstehenden Figuren von Möbius. Die Schwierigkeit bei der Klassifikation der ebenen Flächen liegt in Problemen der mengentheoretischen Topologie. Mit dem Begriff der Jordankurve lassen sich aber die pathologischen Fälle ausschließen und ein Klassifikationsproblem formulieren, dessen Ergebnis von Möbius plausibel gemacht wird. Komplizierter liegen die Verhältnisse bei den dreidimensionalen Gebieten, wo sich die Betrachtungen von Möbius als falsch und endgültig nicht zur Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen geeignet erweisen. Die sogenannte Alexandersphäre ist eine in den R3 eingebettete 2-Sphäre, deren wohldefiniertes Innengebiet nicht zur Vollkugel x2+y2+z2<1 homöomorph ist. Sie hat lange und spitz zulaufende Zipfel, die unendlich oft und immer enger um einander gewunden sind. Möbius hat auch hier auf die Anschauung vertraut.

Um diesen Satz darzuthun, will ich vorher zeigen, dass und wie zwei körperliche Räume, deren jeder von einer geschlossenen Fläche der ersten Classe begrenzt ist, in el. verwandtschaftliche Beziehung gebracht werden können.

Man bezeichne die zwei Räume mit (S) und (T), und die sie begrenzenden Flächen mit s1 und t1. Man füge zu s1 eine Reihe anderer Flächen der ersten Classe s, s', s", .., von denen s von s1, s' von s, s" von s', usw. in unendlicher Nähe umschlossen ist, hinzu, bis man zuletzt auf eine von einem einfachen Punkte M nicht mehr zu unterscheidende Fläche kommt. Der Raum (S) wird dadurch in unendlich viel unendlich dünne Schaalen s1s, ss', s's", .. zerlegt, von denen die eine in der andern enthalten ist. - Ganz auf dieselbe Weise denke man sich auch den Raum (T) durch ebenso viel in einander begriffene Flächen erster Classe t, t', t", .., von denen die letzte ein einfacher Punkt N ist, in unendlich dünne Schaalen t1t, tt', t't", .. zerlegt.

Weil ferner s1 und t1 Flächen der ersten Classe seyn sollen, so sind sie einander el. verwandt, und man kann daher je einem Punkte T in t1 je einen Punkt S in s1 dergestalt ensprechend setzen, dass je zwei einander unendlich nahen Punkten in t1 zwei einander unendlich nahe Punkte in s1 entsprechen. Hat man auf solche Weise zu allen Punkten T, T', .. in s1 die entsprechenden S, S', .. in s1 bestimmt, so ziehe man von N bis zu jedem Punkte T in t1 eine Linie. Jede dieser Linien wird jede der Flächen .., t'', t', t durchgehen. Man ziehe aber die Linien NT also, dass erstens keine der Flächen .., t', t, t1 von NT in mehr als einem Punkte getroffen wird, und dass zweitens, wenn T und T' zwei einander unendlich nahe Punkte in t1 sind, die Linien NT und NT' nicht bloss in T und T', sondern auch überall zwischen diesen Endpunkten nur unendlich wenig von einander entfernt liegen. - Nach denselben zwei Regeln verbinde man auch im andern Raume (S) den Punkt M mit allen Punkten S der Fläche s1 durch Linien MS.

Nach diesen Vorbereitungen lässt sich nun zu jedem Punkte Q des Raumes (T) ein ihm im Raume (S) nach dem Gesetze der el. Verwandtschaft entsprechender Punkt P sogleich angeben. Immer nämlich kann man Q als den Durchschnitt einer gewissen t(µ) unter den den Raum (T) füllenden Flächen t, t', .. mit einer gewissen NT(n) unter den denselben Raum füllenden Linien NT, NT', .. betrachten; und es wird, wenn im Raume (S) die Fläche s(µ) die ebensovielte unter den auf einander folgenden s, s', .. ist, als es t(µ) in der Reihe t, t', .. war, und wenn S(n) der dem T(n) entsprechende Punkt der Fläche ist, der Durchschnitt von s(µ) mit der Linie MS(n) der dem Q entsprechende Punkt P seyn. Denn man ersieht ohne Weiteres, dass hiernach, wenn Q und Q' zwei einander unendlich nahe Punkte in (T) sind, auch die ihnen in (S) entsprechenden P und P', wie es die el. Verwandtschaft erfordert, einander unendlich nahe seyn werden. [§.21]

Nimmt man für (S) die Einheitsvollkugel und Kugeloberflächen s x vom Radius 0<x£ 1 um den Mittelpunkt M von (S) als Schalen und sämtliche Radien der Einheitssphäre als die Verbindungslinien von s 1 mit M, hat man eine Parametrisierung von (T) durch die Einheitsvollkugel formuliert. Die Frage nach der Existenz dieser Parametrisierung unter den ausdrücklich angegebenen Voraussetzungen wird aber von Möbius nirgends berührt.

Bei Körpern mit mehr als einer Grenzfläche treten zusätzlich kombinatorische Varianten der Gestalt auf, die sich nicht auf die Gestalt des Randes auswirken.

Um von diesen zusammengesetzteren Körpern nur die einfachsten hier noch in Betracht zu ziehen, so erhellet leicht, dass zwei Körper K und K', von denen K die Flächen a und i, K' die Flächen a' und i' resp. zur äussern und zur innern Begrenzung hat, in dem Falle einander el. verwandt sind, wenn sämmtliche vier Flächen zur ersten Classe gehören. ...

Auf ähnliche Art erhellet die el. Verwandtschaft zwischen K und K', wenn a, i und a', i' insgesammt Flächen der zweiten Classe sind, ... [§.23]

Möbius denkt dabei offenbar an ein Gebiet vom Typ T2´[0,1]. Ein kleiner Volltorus kann aber auch so aus einem anderen Volltorus ausgebohrt sein, daß um ihn eine nicht-berandende 2-Sphäre gelegt werden kann. Außerdem kann die Ausbohrung verknotet sein. Diese Aussage von Möbius erweist sich damit schon aus kombinatorischen Gründen als falsch.

Der letzte Abschnitt bei Möbius gilt dann folgendem Satz.

Zwei Körper, deren jeder von einer Fläche der ersten und einer Fläche der zweiten Classe begrenzt ist, sind demnach stets in el. Verwandtschaft, mögen die äussern Grenzflächen für sich, und damit auch die innern für sich, entweder zu einerlei Classe, oder zu verschiedenen gehören.

Am Ende äußert Möbius noch die Vermutung einer einfachen Klassifikation aller berandeten räumlichen Figuren nach der Gestalt ihrer Randmannigfaltigkeiten.

- Es lässt sich hiernach erwarten, dass überhaupt zwei Körper el. verwandt seyn werden, wenn der eine von ihnen von eben so viel geschlossenen Flächen, wie der andere, begrenzt ist, und wenn die Classenzahlen der Grenzflächen des einen Körpers dieselben, wie bei dem andern sind, - gleich viel übrigens, ob die beiden äusseren Grenzflächen der beiden Körper zu einerlei Classe gehören, oder nicht. -

Hier deutet sich die Erkenntnis an, auf die Möbius schon im zweidimensionalen Fall ausführlich eingegangen ist, daß Innen- und Außengebiet nicht wesentlich voneinander verschieden sind und etwa durch Hinzunahme eines unendlich fernen Punktes ineinander übergeführt werden können.

Im Zusammenhang mit der Klassifikation der geschlossenen Flächen hat Möbius die Klassifikation der ebenen Flächen nicht wirklich, sondern nur Folgerungen aus ihr benutzt, die auch mit elementaren Methoden zu lösen sind, wie ich oben gezeigt habe.

Die Hauptrolle spielen dabei Unionen, Binionen und Ternionen, denn aus ihnen können alle geschlossenen Flächen aufgebaut werden, wie Möbius gezeigt hat. Deswegen ist die Untersuchung ihrer Topologie für die Klassifikation der geschlossenen Flächen unerläßlich. Unionen und Binionen sind Flächenteile mit einer bzw. zwei Grenzlinien, die aufgrund ihrer Lage im Raum eine Zerlegung in geschlossene Linien mitbringen, wie sie oben [§.5.1) und 2)] beschrieben sind.

Der Beweis für eine Union und eine Binion kann ganz ähnlicher Weise, wie in § 5.1) und 2), geführt werden. Sind nämlich z und e1 die zwei Lagen der Ebene e, deren erstere die Union (f) in A elliptisch berührt, und deren letztere die Grenzlinie f in sich fasst, so denke man sich ein System unendlich vieler, =m, und in unendlich kleinen Intervallen von z bis e1 aufeinander folgender mit z und e1 paralleler Ebenen, welche die Fläche (f) in den Linien f1, f2,.. schneiden. Hierdurch wird die Fläche, wie in § 5.1) die ebene Fläche a, in m unendlich schmale Ringe und das den Punkt A enthaltende und von der unendlich kleinen Ellipse f1 umgrenzte Element zerlegt. Theilt man hierauf, ebenso wie dort, die Grenzlinie f in n Elemente und zerlegt durch Linien, die in (f) von den Theilpunkten nach A gezogen werden, die (f) in n unendlich schmale Sectoren, also in Verbindung mit jenen m Ringen in mn+1 Flächenelemente, so kann man diese den ebensovielen Elementen der Fläche a' in § 5.1) auf die dort bemerkte Weise nach dem Gesetz der el. Verwandtschaft entsprechend setzen.

Um zu beweisen, dass jede Binion (fg) einer von zwei geschlossenen Linien f', g' begrenzten ebenen Fläche el. verwandt ist, verfahre man eben so, wie in § 5.2) die elementare Verwandtschaft zweier ebenen Flächen a und a' dargethan wurde, von denen a die Linien f, g, und a' die f', g' zu Grenzen hatte, nur dass man, wenn jetzt f und g in den Ebenen e1 und e2 liegen, die Fläche (fg) durch parallele Ebenen, welche in unendlich kleinen Intervallen aufeinander folgen, in m unendlich schmale Ringe zerlegt. [§.10]

Was allein über die methodischen Möglichkeiten von Möbius hinausgeht, ist ein Existenzbeweis für die Linien, die im Falle der Union vom Rand zum kritischen Punkt und im Falle der Binion vom einen zum anderen Rand gezogen werden müssen. In der Morse-Theorie werden dafür die Flußlinien der Morsefunktion verwendet, die in diesem Falle stets als Höhenfunktion gegeben ist. Die Existenz eines zum normierten Gradientenvektorfeld gehörigen Flußes kann aus der Theorie der Differentialgleichungen übernommen werden.

Bei den Ternionen fügt Möbius [§.10] mehr beiläufig hinzu:

... nur erwäge man hierbei noch, dass die zwei Linien k und n, aus denen i besteht, zwei verschiedene Lagen gegeneinander haben können, indem sie entweder nebeneinander liegen, oder indem die eine, etwa n, von der andern k umschlossen wird.

Im erstern dieser zwei Fälle wird die Linie f' die k und die n zugleich und damit die i umschliessen, die Linie g' aber von k und h' von n umschlossen seyn. - Im letztern Falle muss f' zwischen k und n liegen, g' muss die k umschliessen, und h' von n umschlossen seyn.

Zugleich folgt hieraus, dass, je nachdem die Linien k und n in der Ebene e entweder nebeneinander liegen, oder die eine innerhalb der andern begriffen ist, auch die in der Ebene e 2 enthaltenen Linien g und h entweder neben, oder in einander liegen, und dass es daher zweierlei Arten von Ternionen giebt, je nachdem nämlich die zwei in einerlei Ebene begriffenen Grenzlinien einer Ternion entweder neben, oder in einander liegen. Wir wollen diese zwei Arten resp. als erste und zweite Art von einander unterscheiden.

Die von Möbius vorgenommene Zerschneidung der Ternion in zwei Binionen kann dann im ersten Fall entlang der Flußlinien erfolgen, die zum Sattelpunkt hinführen, entsprechend Fig.2 bei Möbius. Die Niveaulinie des Sattelpunktes hat dann die Form einer Acht, wie sie Fig.8 bei Möbius zeigt. Im zweiten Fall kann die Zerschneidung entlang der Flußlinien führen, die vom Sattelpunkt wegführen, entsprechend Fig.3 bei Möbius. Die Niveaulinie des Sattelpunktes hat in diesem Fall die Brezelform, die bei Möbius in Fig.9 zu sehen ist.

Die Unterscheidung der beiden Arten erlangt erst eine Bedeutung, wie Möbius im anschließenden Zusatz schreibt, wenn nicht aus der Form das Schema, sondern umgekehrt aus dem Schema die Form abzuleiten ist. Ohne diese Bemerkung wäre keineswegs klar, daß eine solche Ableitung überhaupt möglich ist. Man erkennt aber sofort, daß durch Zusammensetzung zweier Ternionen unterschiedlicher Art eine Kleinsche Flasche abgeleitet werden kann.

Damit ist auch eine Zerlegung der Kleinschen Flasche in zwei Binionen und eine Klassenzahl für die Kleinsche Flasche gegeben, die mit derjenigen eines aus zwei Binionen zusammengesetzten Torus übereinstimmt. Daß die Klassifikation der Flächen davon nicht berührt wird, liegt allein an der dort benutzten Orientierbarkeit der Flächen.

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