Die Theorie der elementaren Verwandtschaft von Möbius

Historischer Überblick

Schon 1858 hat Witzschel seine Grundlinien der neueren Geometrie mit dem Kapitel Von den geometrischen Verwandtschaften der Figuren auf die Arbeiten von Möbius [besonders 1827, 1853, 1855 und 1856] gegründet. Auch die Bemerkungen von Hermann Hankel in dem erst nach seinem Tode erschienenen Buch Die Elemente der projektivischen Geometrie in synthetischer Behandlung [21-25] belegen eine Rezeption der Untersuchungen des barycentrischen Calculs in der mathematischen Fachwelt. Die Theorie der geometrischen Verwandtschaften wurde von Möbius durch die Theorie der elementaren Verwandtschaft 1863 noch um einen wichtigen Teil erweitert und enthält damit im wesentlichen die Ideen, die in Verbindung mit dem Namen Felix Klein als Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen bzw. als Erlanger Programm bekannt wurden [cf. Wußing 1969, Wußing 1974, Struve 1990, 173-183 und 190-192. Zur Rolle der elementaren Verwandschaft in diesem Zusammenhang Klein 1921, 497, Wußing 1969, 29 sq., Wußing 1974, 18 sq., Pont 1974, 90, Scholz 1980, 144 sq.]. Obwohl seine Publikation keine zehn Jahre nach der Theorie der elementaren Verwandtschaft und nur vier Jahre nach dem Tod von Möbius liegt, erkannte Klein nach eigener Aussage erst bei der Herausgabe des zweiten Bandes (1886) der gesammelten Werke von Möbius diesen als seinen Ideenvorläufer [cf. Klein 1886, Klein 1926, 118, n. 1].

Die Theorie der elementaren Verwandtschaft als die erste gelungene Formulierung des Homöomorphieproblems [cf. Hirsch 1978, 212, Henn / Puppe 1990, 675] im Sinne eines geometrischen Klassifikationsproblems gewinnt eine eigenständige Bedeutung mit der Herausbildung der Topologie als mathematische Disziplin. Die Idee einer Analysis situs, die vor Möbius am ehesten umschrieben hat, was die Topologie ausmacht, ist aber zu seiner Zeit Gegenstand der mathematischen Diskussion. Daß Möbius dieser Idee eine begriffliche Grundlegung gibt, wird auch von der Generation nach ihm nicht aufgenommen und erst nach der Jahrhundertwende durch den Artikel Analysis situs von Dehn und Heegaard in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften [159] bekannt. Im Gegensatz zu anderen Aufsätzen, die Möbius zunächst in den Schriften der Sächsischen Akademie der Wissenschaften veröffentlicht hat, ist seine Theorie der elementaren Verwandtschaft nicht in eine mathematische Fachzeitschrift aufgenommen worden. Gino Loria erwähnte in seiner Geschichte der Geometrie von 1888, die auch die neueste Zeit einbezieht, die fragliche Arbeit von Möbius nicht. Der deutsche Bearbeiter dieser Schrift Schütte [63] nimmt sie folgendermaßen auf:

Daß Möbius der Analysis situs neue Impulse gegeben hat, wird schon ab 1885 von Walther Dyck gewürdigt, dadurch daß er seine Beiträge zur Analysis situs [1885, 314; 1888, 459 und 463] an Möbius anlehnt. Er präzisiert einen von Möbius implizit entwickelten Mannigfaltigkeitsbegriff, und bezeichnet insbesondere alle in die Ebene ohne mehrfache Überdeckung ausbreitbaren Flächen mit Möbius als die Grundformen [Dyck 1888, 477].

Möbius ging darüber hinaus aber schon wesentliche Schritte der Bearbeitung des "Homöomorphieproblems für Mannigfaltigkeiten". Erste und für die weiteren Untersuchungen grundlegende Ergebnisse hat er ohne Beweis und ohne Zweifel mitgeteilt. Das zentrale Ergebnis der Arbeit von Möbius ist aber die Klassifikation der geschlossenen und in den dreidimensionalen Raum eingebetteten, im Endeffekt also der kompakten orientierbaren Flächen [cf. Reinhardt 1885, 121 sq., Dehn / Heegaard 1907, 189-205, Alexandroff / Hopf 1935, 3, Hirsch 1976, 188, Henn / Puppe 1990, 676]. Sie wurde wiederum erst durch den Artikel von Dehn und Heegaard anerkannt und verbreitet. Jordan veröffentlichte seine im wesentlichen mit Möbius identische Formulierung der Homöomorphie und eine Klassifikation, die auch berandete Flächen einbezieht, drei Jahre später von Möbius unabhängig und erhält in den folgenden Jahren mehr Anerkennung [cf. Scholz 1980, 142 und 148]. Klein [1882, 26] und Dyck [1888, 458] verweisen als Zeitgenossen von Möbius - ebenso die moderne historische Darstellung von Vanden Eynde - für die Klassifikation der Flächen auf den Beweis von Jordan, der auch jüngst von Dombrowski [1990, 353, n. 9] als keineswegs vollständiger als der von Möbius angesehen wird. Sicher genügt auch der Beweis von Möbius nicht in allen Details modernen Ansprüchen. Neben seiner Methode aber, die sich im Rahmen der Morse-Theorie bis in Details als verallgemeinerungsfähig herausstellt, haben sich auch seine Modelle zur expliziten Angabe von Flächen, die einer bestimmten Klasse angehören, durchgesetzt, ohne daß je auf Möbius zurückgegriffen wurde. Er benutzte hauptsächlich einen Aufbau ähnlich dem modernen "Henkelmodell", zur Veranschaulichung zusätzlich das Zwei-Kugel-Modell, bei dem zwei mehrfach gelochte Kugelflächen mit zylindrischen Kanälen verbunden sind, das Linsenmodell und das Scheibenmodell, die Oberfläche einer mehrfach durchbohrten Scheibe [cf. Scholz 1980, 153 und 383, n. 15, Dombrowski 1990, 331]. M.W.Hirsch [1976, 188] bemerkt, daß wenn überhaupt jemand die Frage nach der Endlichkeit des Zusammenhangs gestellt hat, Möbius derjenige war.

Während die Methoden, die Möbius bei der Klassifikation der Flächen angewandt hat, in einigen Punkten schon den letzten Schliff haben, muß man auch erwähnen, daß sie in anderer Hinsicht am Anfang großer Entwicklungslinien der späteren Topologie stehen. Die Stellung von Möbius in der Vorgeschichte der algebraischen Topologie wird ausführlich von Jean-Claude Pont [1974, 88-111, auch Biggs 1993] gewürdigt. Für ein formales Schema, auf das Möbius die ganze Information über den topologischen Aufbau einer Fläche gebracht hat, formuliert er Rechenregeln, mit deren Hilfe sich das Schema vereinfachen und auf eine Normalform bringen läßt. An dieser kann man direkt die topologischen Eigenschaften ablesen. Die Idee, mit der Möbius eine vorgegebene geschlossene Fläche in Grundformen zerlegt und auf das formale Schema reduziert, hat einen besonderen Platz in der Vorgeschichte der Morse-Theorie. Innerhalb der modernen Morse-Theorie hat die Klassifikation der Flächen eine einführende Rolle eingenommen, die der Anschauung und Motivation dient. Daß diese Überlegungen schon Möbius gemacht hat, ist erst in neuerer Zeit bekannt geworden [cf. Hirsch 1976, 4 und 188, Scholz 1980, 151, Dombrowski 1990, 330-332, Stewart 1993, 133-139] und hat in der Entstehungsgeschichte der Morse-Theorie keine Rolle gespielt.

Dehn und Heegaard [1907, 188] würdigen auch die Klassifikation der 1-Mannigfaltigkeiten und die erstmalige Behandlung von (berandeten) 3-Mannigfaltigkeiten in der Theorie der elementaren Verwandtschaft. Thematisch erfährt die Arbeit von Möbius damit eine gewisse Abrundung, die Schwierigkeiten sind aber im ersteren Fall wesentlich kleiner, im letzteren wesentlich größer als in zwei Dimensionen, so daß diese beiden Paragraphen deutlich hinter der Flächentheorie zurückstehen.

Die Theorie der elementaren Verwandtschaft ist als erster von zwei Aufsätzen [1863 und 1865] in den Leipziger Berichten aus einer Arbeit hervorgegangen, die Möbius für den Grand Prix de Mathématiques von 1861 bei der Pariser Akademie der Wissenschaften eingereicht hat. Die Preisaufgabe lautete: Vervollständigen Sie die geometrische Theorie der Polyeder in einem wichtigen Punkt. Eine deutsche Fassung dieser Arbeit im handschriftlichen Nachlaß [cf. Mittheilung 1889 und Liebmann 1910] von Möbius, der vermutlich 1944 bei der Bombardierung Leipzigs vernichtet wurde, ist teilweise in seinen gesammelten Werken [Reinhardt 1886, 519-559] abgedruckt. Man kann daran nachvollziehen, wie seine Theorie der elementaren Verwandtschaft zunächst aus der Theorie der Polyeder höherer Art herausgewachsen ist [Reinhardt 1886, 518]. Das war in den Jahren 1858 bis 1860. Schon 1863 formuliert Möbius aber seinen neuen Zugang in der hier zu besprechenden Arbeit. Der einzige Zusammenhang zwischen der Theorie der elementaren Verwandtschaft und der Polyedertheorie bleibt die Eulersche Polyederformel in einer verallgemeinerten Form, die ihr Lhuilier gegeben hat. Möbius ist damit der erste, der die topologische Natur dieser Formel aufdeckt. Insofern werden wir auch Möbius gerecht, wenn wir heute den Eulerschen Polyedersatz als Ausgangspunkt für die Entwicklung der Topologie ansehen [cf. Henn / Puppe 1990, 674].

Insbesondere formuliert Möbius aber die elementare Verwandtschaft nicht für Polyeder, sondern fordert dazu auf, sich eine geschlossene Fläche ohne Ecken und Kanten vorzustellen. Damit will er die allgemeine Form einer Fläche veranschaulichen in dem Sinne, daß sie in allen ihren Elementen, nämlich infinitesimal kleinen Teilen und nur in diesen mit ebenen Flächenstücken übereinstimmen muß. Und die Theorie der Polyeder, deren topologische Struktur immer kombinatorisch vorgegeben ist, behandelt er in einer gesonderten Arbeit.

Die Aufteilung des Inhaltes der in Paris eingereichten Preisarbeit auf zwei Publikationen in den Leipziger Berichten manifestiert nicht allein die Ablösung der Topologie von kombinatorisch gegebenen Figuren, sondern auch eine gedankliche Entwicklung, die Möbius durchgemacht hat. Sie ist vielleicht in der Not begründet, die einseitigen Polyeder nicht in den Griff zu bekommen, die in seiner Polyedertheorie erstmals auftauchen und eine wichtige Rolle spielen. Es können aber auch äußere Einflüsse eine Rolle gespielt haben, wie zum Beispiel eine Idee, die Riemann in seinem Habilitationsvortrag formuliert hat [Riemann posthum, ed. 1919, 5 sq.]:

Möbius drückt seine Zerlegungen einer Mannigfaltigkeit in Objekte kleinerer Dimension durch Schnitte mit einer Schar von Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension aus. An einigen Stellen, besonders für die geschlossenen Flächen benutzt er aber genau die Zerlegung, die man bei Heranziehung einer Höhenfunktion als einer stetigen Funktion des Orts erhält. Das ist auch die Funktion, die man in diesem Zusammenhang als Morsefunktion deuten kann und die Möbius mit seiner Klassifikation der Flächen zu einem Vorläufer der Morse-Theorie macht. Im allgemeinen wird die obige Formulierung Riemanns lokal verstanden, wo sie im Sinne der modernen Mannigfaltigkeitsvorstellung, die sich gerade auf Riemanns Vorstellungen gründet, wortwörtlich aufgefaßt werden kann. Da Riemann aber nichts über den Gültigkeitsbereich seiner Formulierung aussagt, möchte ich nicht ausschließen, daß auch er eine globale Anwendung im Sinne hatte. Es wird sich vielmehr um eine Andeutung handeln, bei der die Details noch nicht in Betracht gezogen wurden. Insbesondere tritt dann noch nicht klar hervor, daß die kritischen Werte der angenommenen Funktion eine wesentliche Rolle spielen würden, die wesentliche Anregung aber für eine Theorie der reellen Funktionen auf Mannigfaltigkeiten im Dienste der Topologie ist damit gegeben [cf. auch Scholz 1980, 35]. Riemann fordert in seinem Vortrag [postum, ed. 1919, 4] außerdem die Unterscheidung eines allgemeinen, von Maßbestimmungen unabhängigen Teils der Größenlehre. Das ist die Theorie der elementaren Verwandtschaft aus dem Blickwinkel der Differentialgeometrie. Dazu fügt sich die Tatsache, daß der andere Aufsatz von Möbius den Titel Über die Bestimmung des Inhalts eines Polyeders trägt - das ist der Teil der Mannigfaltigkeitslehre, der den Maßbestimmungen gewidmet ist.

Diese späte Entwicklung von Möbius wird aber nicht gebührend rezipiert. So zitiert beispielsweise Dingeldey [1890, 3] die Polyederformel von Möbius aus dem veröffentlichten Nachlaßfragment "Zur Theorie der Polyeder und der Elementarverwandtschaft" [546 sq.]. Bei der Bezeichnung "Möbiussches Kantengesetz" von Strubecker [1959, 134 sq.] denkt man auch an ein Ergebnis der Polyedertheorie und der Begriff Elementarverwandtschaft wird von Seifert und Threlfall [1934, 134-142] sogar für Polyederflächen reserviert. Sie unterscheiden übrigens begrifflich zwischen Polyederfläche und Fläche "als Umgebungsraum", stützen ihre Klassifikation 1934 aber auf Polyederflächen und betrachten damit das Homöomorphieproblem in zwei Dimensionen als gelöst. Bemerkenswert, daß gerade Seifert und Threlfall das Verdienst zukommt, wenige Jahre später die Theorie von Marston Morse verständlich darzustellen [1938 und 1941]. Threlfalls Figur [1941, 16, fig. 2] zur Veranschaulichung kritischer Punkte und ihrer Bedeutung für die Topologie einer Fläche ist mit denjenigen Figuren von Möbius in der Theorie der elementaren Verwandtschaft [1863, 26 und 29; Nachdruck 1886, 442 und 445; siehe unten] vergleichbar, die aufgrund ihrer Anschaulichkeit inzwischen mehrmals faksimiliert wurden [Pont 1974, 93, Dombrowski 1990, 331, Stewart 1993, 136.

Die Theorie der elementaren Verwandtschaft steht am Ende des wissenschaftlichen Lebenswerkes von Möbius [cf. Reinhardt 1887, eine Bibliographie von Möbius hat Bruhns 1877, 80-84]. Er hat bestimmt einen großen Erfolg seiner Theorie der geometrischen Verwandtschaften darin gesehen, daß die Eulersche Polyederformel eine Invarianzeigenschaft der allgemeinsten geometrischen Verwandtschaft ausdrückt, und deshalb auf Lhuilier und Euler zurückgegriffen. Man darf aber auch seinen Hinweis auf die mehr differentialgeometrische Untersuchung von Reech nicht unterschätzen, ihr hat nämlich Möbius eine vergleichbare Verallgemeinerung gegeben, wie sie Lhuilier der Eulerschen Polyederformel gegeben hat. Eine Stelle im handschriftlichen Nachlaß von Möbius [546] weist noch einmal ausdrücklich darauf hin. Zugleich muß man die Andeutungen von Gauß bedenken, die er in seiner Allgemeinen Theorie des Erdmagnetismus als lokale Untersuchung an den kritischen Punkten des magnetischen Potentials auf der Erdoberfläche gemacht hat [cf. Stäckel 1917, 52]. Möbius und Gauß standen zu dieser Zeit in Gedankenaustausch, wie eine andere Bemerkung in den Tagebüchern von Möbius beweist [Möbius postum, 541]. Mit der Gaußschen Differentialgeometrie war Möbius sowieso vertraut [cf. Möbus 1862]. Daß sich die Arbeit von Möbius so nahtlos in die Untersuchung-en von Riemann einfügt, läßt wenigstens eine Berührung mit den Ideen von Riemann vermuten. Als Vermittler kommt Hermann Hankel in Frage, der 1857-1860 bei Möbius studiert hat und danach Leipzig für nur zwei Jahre verließ [Zahn 1874, 584 sq., Lorey 1916, 108]. In dieser Zeit ist er in Göttingen ein Anhänger von Riemann geworden, ließ sich in Leipzig mit einer Göttinger Arbeit promovieren und studierte noch bei Weierstraß und Kronecker in Berlin. Nicht nur Hankels akademischer Aufstieg in Leipzig, der 1863 mit der Habilitation fortgesetzt wurde, belegt einen engeren Kontakt mit Möbius. Sie haben in der gleichen Nummer der Leipziger Berichte publiziert [Möbius 1862 und Hankel 1862] und Hankel bringt seine Arbeit Über die Vieldeutigkeit der Quadratur und Rectification algebraischer Curven von 1864 als eine Gratulationsschrift zur Feier des funfzigjährigen Doctorjubiläums des Herrn August Ferdinand Möbius etc. heraus [cf. Catalogo 1876 und Cantor 1879, 518].